Задачі з геометрії

Але не завжди вдається проробити прямі роздуми, які б доводили, що знайдене розміщення. Реалізує шуканий екстремум. Нагадаємо, що при знаходженні найбільших і найменших значень з допомогою математичного аналізу, ми опираємось на ствердження про існування найбільшого або найменшого значення. Дане твердження може бути сформульоване в загальному вигляді. Але звернення до даного ствердження не зовсім знайомі, оскільки доведення загального факту в шкільному курсі відсутнє. З іншої сторони, в кожному конкретному випадку існування найбільшого або найменшого значення достатньо очевидно. Аналогічно даному геометричні погляди, які показують для яких розміщень найбільше чи найменше значення не досягається, доповнені теоремою існування, дають умови, які визначають екстремальне положення.

Задача 11. Точки А, В, С розміщені по одній на трьох колах з радіусами 1, 3 і 5. Чому дорівнює найбільше значення площі трикутника АВС?

Розв’язання.

Доведемо, що до шуканого трикутника виконується наступна властивість: пряма, яка проходить через довільну його вершину паралельно протилежній стороні, повинна дотикатися до відповідного кола.

Нехай пряма, проведена через С паралельно АВ, перетинає коло (мал.3). тоді. Переміщуючи С по одній з отриманих дуг в положенні С1, отримаємо трикутник АВС1, площа якого більша, ніж площа трикутника АВС.

Доведемо (при умові існування), що точка О – спільний центр кіл – для шуканого трикутника є точкою перетину висот (мал.4).

Нехай АО = 1, ВО = 3 , СО = 5. Згідно перетину синусів для трикутника АОВ маємо , для трикутника АОС маємо .

Нехай , тоді , . З рівності А+С = 1800 – В маємо , звідки

,

Один корінь цього рівняння . Більше дійсних коренів немає.

Отримали, щоЗадача 12. Довести, що медіана, проведена до більшої сторони трикутника, утворює зі сторонами, які її заключають, кути, величиною кожного з них не менше половини найменшого кута трикутника.

Розв’язання.

Нехай в ΔАВС сторони зв’язані співвідношенням а , тобто АВ=с, ВС=а, АС=b. Візьмемо на СВ точку М так, що <САМ = . Потрібно довести, що СМ . за теоремою синусів для ΔСАМ запишемо:

.

Використаємо тригонометричні формули для перетворення виразу .

За теоремою косинусів для АВ з ΔАВС:

АВ2=ВС2+АС2-2АС*ВС*cos
c2=a2+b2-2ab cos
Використавши вище проведені перетворення, запишемо:

СМ=

Задача 13. Трикутник АВС і АМС розміщені так, що МС перетинає АВ в точці 0, причому АМ+МС = АВ+ВС. Довести, що АВ = ВС, то ОВ > OМ.