Порівняння функцій та їх застосування

Доведення необхідності. Нехай при тобто

де . Тоді

де при , тобто маємо (1.32).

Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто

де . Тоді

де при тобто при

Отже, ми показали, що функції і еквівалентні при тоді і тільки тоді, коли відносна похідна (або прямує до нуля при )

Наслідок. Нехай де с - стала. Тоді f~cg і g=cf+o(f) при

Доведення. Якщо , то , і значить при . Звідси, з теореми 1 маємо а значить (див. кінець п. 1.2) .

Теорема 2. Нехай ~ і ~ при Тоді якщо існує

(1.33)

то існує і , причому

(1.34)

Доведення. Умова при означає, що

де , а умова при -що , де . Крім того, оскільки існує границя (1.33), функція визначена в деякому проколеному околі точки і, отже, всюди в цьому околі виконується нерівність . Оскільки і, очевидно, в деякому проколеному околі точки , то і функція володіє тією ж властивістю. Тому функція визначена в деякому проколеному околі точки .

Тепер маємо:

Оскільки обидві частини рівності (1.34) рівноправні, то з доведеної теореми виходить, що границя, що стоїть в лівій частині, існує тоді і тільки тоді, коли існує границя в правій частині, причому у разі їх існування вони співпадають. Це робить дуже зручним застосування теореми 2 на практиці: її можна використовувати для обчислення меж, не знаючи наперед, існує чи ні дана межа.

МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.Нехай -функції, визначені в деякій проколеному околі точки . Якщо функція представлена у вигляді

то функція називається головною частиною функції при прамуючому до

Приклади. 1. Головна частина функції , при рівна , бо

2. Якщо то функція є головною частиною многочлена при , бо

Якщо задана функція , то її головна частина не визначається однозначно: будь-яка функція , еквівалентна , є її головною частиною. Наприклад, нехай . Оскільки, з одного боку при , а з другого боку то . В першому випадку головною частиною можна вважати , в другому . Проте, якщо задається певним чином головної частини, то при його вигідному виборі можна добитися того, що головна частина вказаного вигляду буде визначена однозначно.