Порівняння функцій та їх застосування

1.;

тому

2.

3., бо

4.Так як |1/x2| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® ¥;

5.1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x2 при |x|£ 1.

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являються нескінчено малими одного порядку при x® a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| £ 3 Þ f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| £ 1 Þ g=O(f).

7. x2 = o(x) при x ® 0, так як limx ® 0x2/x = limx ® 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x ® + ¥ так як limx ® ¥x/x2 = limx ® ¥1/x = 0

9.Знайти границю

Розв'язування. Використовуючи асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x® 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x® 0, найдем

ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ

Якщо функція замінюється на де якому кроці через , то різницяь називається абсолютною похибкою, а відношення - відносною похибкою зробленої заміни. Якщо вивчається поведінка функції при то часто доцільно замінити її функцією такої, що 1) функція в певному значенні більш проста, ніж функція ; 2) абсолютна похибка прямує до нуля при

В цьому випадку говорять, що наближає функцію поблизу точки . Такою властивістю володіють наприклад, всі нескінченно малі при функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні між собою:

володіють тією властивістю, що не тільки абсолютна похибка , але і відносна прямує до нуля при

В цьому значенні функції, еквівалентні заданій, наближають її краще, ніж інші функції навіть того ж порядку, що і дана при

Наприклад, функції є нескінченно малими при так само як і а тому абсолютні похибки при заміні sin кожна з них прямує до нуля при

Але лише одна зі всіх перерахованих функцій, а саме: має ту властивість, що відносна похибка при заміні цією функцією прямуватиме до нуля при

Прямування відносної похибки до нуля при можна записати, використовуючи символ “o мале»:

Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у вигляді теореми.

Теорема 1. Для того, щоб функції і були еквівалентними при необхідно і достатньо, щоб при виконувалася умова

(1.32)