Порівняння функцій та їх застосування

Зокрема, справедлива наступна лема.

Лема 5. Якщо функція володіє при , головною частиною вигляду , де А і k - сталі, то серед всіх головних частин такого вигляду вона визначається єдиним чином.

Дійсно, нехай, при ,

і

Тоді ; тому , тобто

що справедливе лише у випадку і .

Поняття головної частини функції корисно при вивченні нескінченно малих і нескінченно великих і з успіхом використовується при розв'язанні різноманітних задач математичного аналізу. Досить часто вдається нескінченно малу складного аналітичного вигляду замінити, в околі даної точки, з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, більш простою функцією. Наприклад, якщо вдається представити у вигляді , то це означає, що з точністю до нескінченно малих більш високого порядку, ніж , нескінченно мала поводиться в околі точки , як степенева функція .

Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).

Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує))

Використовуючи доведену вище (див. (1.26)) еквівалентність ~ при , маємо при , тому (див. теорему 1)) . Проте і , а отже

Далі , унаслідок чого

Очевидно також, що

З асимптотичої рівності , отримаємо

з

а з

Всі ці співвідношення виконуються при . Тепер маємо

тому

Але при , і, значить, по теоремі 2,

Таким чином, шукана границя існує і рівний 2.

При обчисленні границя функцій за допомогою методу виділення головної частини слід мати на увазі, що у випадках, не розглянутих в п. 1.3, взагалі кажучи, не можна нескінченно малі замінювати еквівалентними їм. Так, наприклад, при відшуканні границь вираження

було б помилкою замінити функцію эквивалентній їй при функцією .

Для відшукання границь виразів вигляду цілообразно границю їх логарифмів. Розглянемо подібний приклад. Знайдемо границю . Зауважуючи, що