Порівняння функцій та їх застосування

(1.2)

Зауважимо, що через парність функцій і нерівність (1.2) справедлива і при . Оскільки функція неперервна і , то з (1.2) при слідує рівність (1.1).

Наслідок 1.

(1.3)

Дійсно,

Наслідок 2.

(1.4)

Функція строго монотонна і неперервна на відрізку , тому обернена функція також строго монотонна і неперервна на відрізкуе . Оскільки , то записи і еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши , маємо

Наслідок 3.

(1.5)

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).

Лема 2.

(1.6)

Рівність

(1.7)

де Звідси випливає, що для будь-якої послідовності натуральних чисел, такї, що

(1.8)

маємо

(1.9)

Дійсно, нехай задано ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке що при

(1.10)

а з умови (1.8) випливає, що існує таке що при тому в силу (1.10)

при що і означає виконання рівності (1.9).

Нехай тепер послідовність така, що

тобто