Порівняння функцій та їх застосування

(1.17)

Зокрема, якщо то

(1.І8)

Функція строго монотонна і неперервна на всій числовій осі, тому зворотна функція також строго монотонна і неперервна при . Оскільки при маємо також і , то позначення і еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни змінної.

Поклавши , отримаємо

ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ

Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі точки розширеної числової прямої: при чому цей окіл може бути і одностороній. Тому кожного разу не буде сказано, що .

Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при функцій і .

Нехай, наприклад і тоді

Якщо ж то а якщо , то границя не існує.

Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи і сталі , що для всіх виконується нерівність то функція f називається обмеженою порівнянно з функцією g на і позначається:

(читається: є велике від при , прямучому до ).

Наголосимо, що запис має тут інше, ніж звичайно, значення: він тільки вказує на те, що дана властивість має місце лише в деякому околі точки ні про яку межу тут мови немає.Лема 3. Якщо і існує скінчена границя то

Доведення. З існування скінченої границі

,

слідує існування такого проколотого околу точки що функція на ній обмежена, тобто є така стала , що для всіх виконується нерівність а отже, і нерівність Це і означає, що , .

Приклади. при , або при ; при , або при . Запис при , означає, що функція обмежена в деякому околі точки наприклад при , або , і, значить, функція обмежена в околі точки

Означення 2. Якщо функції і такі, що і при , то вони називаються функціями одного порядку при , це записується у вигляді :

Це поняття найбільш змістовне у тому випадку, коли функції f і g є або нескінченно малими, або нескінченно великими при . Наприклад, функції і є при нескінченно малими одного порядку, бо

Лема 4. Якщо існує скінчена межа , то

Доведення. Покладемо тоді і Отже з леми 3, при .