Поняття множини. Змінні та постійні величини. Функція, область визначення. Лінії та поверхні рівня. Способи задання. Графіки, їх перетворення. Основні елементарні функції та їх графіки. Поняття неявної, складної та оберненої функції

, тому воно задає змінну як функцію від : .

Множина значень , для кожного з яких , є областю визначення неявної функції . Наприклад, рівняння задає двозначну функцію :

що зв’язує значення трьох змінних. Розглянемо множину тих пар чисел , для яких існує значення , що разом з і рівняння (5.2) перетворює на тотожність.

Якщо кожній парі чисел із вказаної множини поставити у відповідність значення , одержимо однозначну або багатозначну функцію двох змінних: , яку будемо називати неявно заданою рівнянням (5.2) або неявною функцією.

Розглянемо рівняння , яке зв’язує значення змінних, за аналогією із викладеним, можна ввести

поняття неявної функції від змінної.

5.3.2. Складна функція

Розглянемо спочатку функції однієї змінної.

Нехай задані дві функції і , при цьому множина значень першої функції входить в область означення другої. Тоді кожному значенню із області визначення функції відповідає певне значення змінної , а значенню функція ставить у відповідність певне значення змінної , тобто змінна є функцією : .

Одержана функція від функції називається складною функцією змінної . Функція - внутрішня, а функція - зовнішня. Наприклад:

Розглянемо функції багатьох змінних. Тут ми маємо два напрямки.

1. Нехай - функція багатьох змінних, кожна з яких є функцією незалежної змінної: Тоді функція

складна функція незалежної змінної.

Наприклад:

є складна функція незалежної змінної .

2. Нехай - функція багатьох змінних , аргументи якої, в свою чергу, залежать від двох або більшого числа змінних:

.

Тоді функція

буде складною функцією незалежних змінних .

Наприклад: .

5.3.3. Поняття оберненої функції

Нехай функція визначена в деякій області . Візьмемо будь-яке значення

Нехай функція визначена в деякій області . Візьмемо будь-яке значення із множини значень цієї функції . В області означення функції знайдеться одне або декілька значень аргументу таких, що . Поставимо у відповідність всі ці значення . При цьому кожному значенню змінної ставиться у відповідність одне або декілька значень . А це означає, що на множині задається однозначна або багатозначна функція . Вона називається оберненою до функції . Областю. визначення оберненої функції є область зміни даної функції.