Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

Будемо вважати, що виконуються наступні припущення:

1) має місце природний приріст в часі трудових ресурсів

2) інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і на амортизацію, тобто

де норма амортизації.

Тоді, якщо норма інвестицій, або

Із визначення фондоозброєності випливає, що

Диференціюючи дану рівність по і підставляючи вирази і одержимо рівняння відносно невідомої

де визначається за формулою (12.83).

Стаціонарний розв’язок цього рівняння має вигляд

Розглянемо конкретну задачу: для виробничої функції знайти інтегральні криві рівняння (12.84) і стаціонарний розв’язок. Із (12.83) випливає, що і тоді рівняння (12.84) має вигляд

Стаціонарний розв’язок цього рівняння випливає із рівності

звідки ми отримаємо ненульовий частинний розв’язок рівняння (12.137):

Відокремлюючи змінні в рівнянні (12.85), одержимо

Інтегруючи це рівняння (заміною), одержимо загальний розв’язок рівняння

Сімейство інтегральних кривих збігається зверху і знизу до стаціонарного розв’язку (рис.12.6): тобто при Отже, при незмінних вхідних параметрах задачі і функція фондоозброєності стійко прямує до стаціонарного значення незалежно від початкових умов. є точкою стійкої рівноваги.

12.13.5. Поняття про різницеві рівняння.

Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

де фіксоване, а довільне натуральне число, члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням го порядку.

Розв’язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності що задовольняють рівняння (12.87). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв’язку диференціальних рівнянь.

Означення. Різницеве рівняння виду

де деякі функції від називається лінійним різницевим рівнянням го порядку.У випадку, коли коефіцієнти є сталими, методи розв’язування такого класу рівнянь багато де в чому аналогічні

розв’язуванню лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Проілюструємо це на прикладі різницевих рівнянь другого порядку: