Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

Розв’язки цього рівняння Система при

Друге рівняння цієї системи є наслідком першого . Покладемо, наприклад, Тоді маємо Тому

Система у разі, коли набуває вигляду

Ця система зводиться до одного рівняння. Поклавши, наприклад, дістанемо Запишемо розв’язки, що відповідають другому кореню

Тоді загальний розв’язок системи має вигляд

2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.

Нехай парі комплексних спряжених коренів відповідають розв’язки

причому коефіцієнти та визначаються із системи рівнянь(12.65). Можна довести , що дійсні й уявні частини цих розв’язків також є розв’язками системи рівнянь. Записавши окремо дійсні й уявні частини даних виразів (в двох рядках), використовуємо їх для запису загального розв’язку системи аналогічно тому, як це було зроблено вище (складаємо лінійну комбінацію з коефіцієнтами по стовпчиках). Зауважимо, що вирази комплексно спряжені відносно функцій; їх можна не виписувати.

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння

або Його корені

При відносно та отримаємо систему

Один з її ненульових розв’язків

При розв’язок комплексно спряжений відносно знайденого.

Тому систему при можна не розглядати. Знайдемо розв’язки вигляду

Виконуємо елементарні перетворення:

(формула Ейлера).

Дійсні частини розв’язків а уявні частини - Отже , загальним розв’язком системи буде

3. Корінь характеристичного рівняння має кратність .

Тоді:а) якщо ранг системи (12.65) такий, що то розв’язуємо цю систему й знаходимо лінійно незалежних розв’язків; кожному такому розв’язкові відповідає стрічка розв’язків вихідної системи, аналогічно тому, як це було зроблено в п.1;

б) якщо то функції …., слід шукати у виглядів добутків виду де многочлен з невизначеними коефіцієнтами, порядок якого дорівнює Щоб знайти ці коефіцієнти, розв’язки підставляють у вихідну систему. Зауважимо , що невизначені коефіцієнти будуть знаходитися з системи алгебраїчних рівнянь, у якій рівно змінних вільні , а інші змінні через них виражаються.

Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь