Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту

звідки або , оскільки а, значить і одержимо

Із рівняння (12.76) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли і графік функції має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті напрям випуклості функції вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).

Для простоти візьмемо залежність лінійну (рис.12.3), тобто

Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд

Із співвідношень (12.77) і (12.78) одержимо: і при при і при точка перегину графіка функції Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива.

Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.

12.13.3. Динамічна модель Кейнса

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу . Тоді справедливі такі співвідношення:

де коефіцієнт нахилу до споживання; автономне (кінцеве) споживання; норма акселерації. Всі функції, що входять в систему (12.79), додатні.

Будемо вважати, що функції і задані – вони є характеристиками функціонування і еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу або як функцію часу

Підставляючи вираз для із другого рівняння (12.79) і із третього рівняння в перше, одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку

Будемо вважати, що основні параметри задачі і постійні. Тоді рівняння стає лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами

Загальний розв’язок дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння. В якості частинного розв’язку рівняння (12.133) візьмемо так званий рівноважний розв’язок, коли тобто

Неважко замітити, що ця величина додатна. Загальний розв’язок однорідного рівняння так що загальний розв’язок рівняння (12.80) має вигляд

Інтегральні криві рівняння (12.80) показані на рис.12.5. Якщо в початковий момент часу то і криві йдуть вниз від рівноважного розв’язку (12.81), тобто національний дохід з часом падає при заданих параметрах задачі і оскільки показник в експоненти додатний. Якщо ж то і національний дохід росте – інтегральні лінії йдуть вверх від рівноважного розв’язку Для автономного диференціального рівняння (12.80) стаціонарна точка (12.81) є точкою нестійкої рівноваги.

12.13.4. Неокласична модель росту

Нехай національний дохід, де однорідна виробнича функція першого порядку, об’єм капіталовкладень (виробничих фондів), об’єм затрат праці. Якщо величина фондоозброєності , то продуктивність праці виражається формулою