Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

Інтегруючи останню рівність, будемо мати

Інтегрування матриці означає інтегрування кожного її елемента. Підставляючи знайдену матрицю-стовпець в (12.118), знайдемо а за формулою (12.117) і загальний розв’язок неоднорідної системи.

Приклад 8. Розв’язати систему

Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо однорідну систему

легко перевірити, що її загальний розв’язок буде

В матричній формі цей розв’язок виглядає так:

Тоді за формулою (12.69) маємо

Отже, частинний розв’язок має вигляд

Загальний розв’язок системи можна записати у формі

12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь

Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.

12.13.1. Модель природного росту випуску продукції

Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Позначимо через кількість реалізованої продукції за час тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто:

де норма інвестиції (постійне число), причому

Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

де норма акселерації. Підставивши в формулу. одержимо

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його загальний розв’язок а частинний розв’язок. Нехай в початковий момент часу заданий об’єм випуску продукції звідки

Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,

12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції

В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай спадна функція, тобто із збільшенням об’єму продукції на ринку ціна на нього не падає ( ). Тепер із формул одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними зміннимиОскільки всі члени в правій частині цього рівняння додатні, то тобто функція зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку