Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

де - матриця розміру виду

Приклад. Записати диференціальне рівняння

у вигляді системи.

Введемо позначення.

Тоді в силу умови маємо. Рівняння зводиться до системи вигляду

Розглянемо однорідну систему диференціальних рівнянь, де коефіцієнти - сталі числа. Систему (12.60) можна звести до диференціального рівняння -го порядку з сталими коефіцієнтами. Але це робити не обов’язково. Є загальний метод розв’язування системи (12.60), який дозволяє наочніше досліджувати її розв’язки .

Ейлер запропонував шукати розв’язок системи (12.60) у вигляді

де - поки що невідомі сталі. Підставляючи в систему рівності та їх похідні й скоротивши на отримаємо

Зауважимо, що - однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно

Головний визначник системи

.

З лінійної алгебри відомо, що у випадку, коли , система має лише єдиний тривіальний (тобто нульовий) розв’язок.

Нетривіальні (ненульові) розв’язки існують лише тоді, коли .

Прирівняємо до нуля :

Рівняння називається характеристичним рівнянням системи, а його корені - коренями характеристичного рівняння.

Можливі такі випадки.

1. Корені характеристичного рівняння - дійсні й різні числа. Позначимо їх через . Для кожного кореня запишемо систему (12.65) і розв’яжемо її (можна довести, що одне з чисел можна вибрати довільним відмінним від нуля , а інші будуть через нього однозначно виражені).

Отже кореню відповідають розв’язки

Тоді загальний розв’язок системи рівнянь записується як лінійна комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:

За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді

називається фундаментальною матрицею системи .

Фундаментальна матриця задовольняє матричне рівняння Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.

Приклад 5 . Розв’язати систему

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння