Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

Р о з в ‘ я з о к. Як звичайно, функції та шукаємо у вигляді :

Характеристичне рівняння системи

Розклавши вираз зліва на множники, отримаємо Отже, простий корінь, а кратний корінь , причому

При система матиме вигляд

Ранг цієї системи дорівнює двом, а тому зведемо її до такої рівносильної системи

Поклавши, знайдемо: Отже, кореню відповідають розв’язки

Приранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:

Отже , і (маємо випадок 3а). Система (12.65) зводиться до одного рівняння або ( вільні змінні ).

Щоб знайти лінійно незалежні розв’язки, покладемо спочатку Тоді Далі покладемо Тоді Це дозволяє записати ще два рядки розв’язків: і

Склавши лінійну комбінацію одержаних розв’язків ( за стовпчиками) , отримаємо шуканий загальний розв’язок системи

Зауваження. Аналогічно розв’язуються системи лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака , в теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.

12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних

рівнянь із сталими коефіцієнтами

Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд

де причому неперервні на функції, , постійні числа.

Загальний розв’язок неоднорідної системи (12.61) дорівнює сумі загального розв’язку однорідної системи і частинного розв’язку неоднорідної системи

Доведення цього твердження аналогічне доведенню для лінійного диференціального рівняння - го порядку.

Метод знаходження загального розв’язку однорідної системи розглядався в п.12.11.

Нехай загальний розв’язок системи (12.62). Тоді частинний розв’язок неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації довільних сталих

Диференціюючи рівність (12.118), одержимо

Підставляємо даний вираз в рівняння

Але фундаментальна матриця задовольняє однорідне рівняння тому і ми одержимо рівняння

з якого знаходимо