Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

План

•Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

•Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

•Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці

•Модель природного випуску продукції

•Ріст випуску продукції в умовах конкуренції

•Динамічна модель Кейнса

•Неокласична модель росту

•Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

Лінійна однорідна система диференціальних

рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має такий вигляд:

Така система називається неоднорідною системою. Відповідна їй однорідна система лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має вигляд

Для запису нормальної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зручно користуватися матричними позначеннями.

Позначимо,

і система (12.59) в матричних позначеннях набуває форми

Відповідна їй однорідна система має вигляд

Користуючись методом виключення, переходимо від системи рівнянь першого порядку до одного диференціального рівняння вищого порядку. Виявляється, що лінійне рівняння -го порядку завжди можна звести до системи рівнянь першого порядку. Нехай наприклад , диференціальне рівняння -го порядку дано у вигляді

.

Введемо такі позначення:

.

Тоді з рівняння випливає, що

.

Рівняння ) можна подати у вигляді