Диференціальні рівняння

Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.

1. Охолодження тіла

Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.

Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?

Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою

U (0)=500 (24)

Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U’(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:

U (t) = -k (U (t)-20), k>0.

Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):

U’ (t)+kU (t)= 20k

Розв’язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24), отримаємо

U (t)= 480e-kt+20

Використовуючи додаткову умову U(10)=100, знайдемо і, відповідно, U(t)=480 . Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.

2. Найпростіші електричні ланцюгиЯкщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:

E=UR+UC+UL. (25)

Тут UR=RI(t) – напруга на активному опорі, UC=q(t)/C – напруга на конденсаторі і UL=LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в ланцюгу в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.

Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q’(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.

Задача. Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю L, Гн (L 0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E(t)=E;

Розв’язання. Використовуючи (25), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення

яке при заданих R, L і E(t) можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння

з початковою умовою