Диференціальні рівняння

Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3) з початковою умовою

А(0) = А0 (17)

Записавши розв’язок рівняння (16) при початковій умові (17) за формулою (7), отримаємо A(t)=A0e-bt/a. Враховуючи числові дані задачі, знайдемо A(60) 1,654 кг.

II. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку.

Подібно тому, як в алгебрі виникає поняття ступеню алгебраїчного рівняння, в аналізі виникає поняття порядку диференційного рівняння.

Якщо диференційне рівняння містить лише першу похідну цієї функції, те воно називається диференційним рівнянням першого порядку. З диференційних рівнянь першого порядку для додатків велике значення мають рівняння вигляду

y’ (x) +p (x) y (x) =q (x),(19)

Де р(x) і q(x) — деякі безперервні функції; в а саме, вони можуть бути постійними. Це рівняння лінійне відносно цієї функції і її похідної. Такі рівняння називаються лінійними диференційними рівняннями. При q(x) = 0 рівняння (18) має вигляд

y’(x)+p(x)y(x)=0 (20)

Позначимо через v(х) одну з первісних функції р(х) і умножимо обидві частини рівності (20) на відмінний від нуля множник еv(x). Помітивши, що

v'(х) =р (х), отримаємо справедливу рівність (y (x) ev(x)) ’=0. Отже,

y(х) еv(x)=C, де C-довільна постійна, звідки

y(х) =Се-v(x).(21)

Отже, якщо у (х) – розв’язання рівняння (19), те воно має вигляд (21). Безпосередній підстановкою в рівняння (19) функції (21) переконуємось, що при будь-якому значенні постійної С вона є розв’язанням рівняння (19). Отже, формула (21) дає безліч всіх розв’язків рівняння (19). При початковій умові (6) з неї можна отримати певний розв’язок.

Неоднорідне лінійне диференційне рівняння (18) може бути зведене до вже розглянутого випадку однорідного рівняння. Наприклад, якщо функції р(х) і q(x) — постійні, а саме p(x) =k, k 0, q(x) =a (k і а - постійні), рівняння

y'(x) +ky (x) =a (22)

Можна переписати в вигляді однорідного рівняння

.

Звідси видно, що множина всіх розв’язків y(x)цього рівняння визначається формулою

y(x)=Ce-kx+a/k,

а розв’язок рівняння (22), яке задовольняє початковій умові (6), - формулою

(23)