Диференціальні рівняння

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтег¬руванням. Наприклад, функція у = ex є розв'язком ди¬ференціального рівняння у — у' = 0, бо (єx)' = ex.

Функція у = cos x є розв'язком диференціального рів¬няння у" + у = 0.

Справді, для функції у = cos x, маємо:

у" = - cos x. Підставляючи значення у" в рівняння y" + у = 0, дістанемо - cos x + cos x = 0.

Аналогічно можна переконатися, що функція у = A sin x + В cos x, де А і В — довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.

Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв‘язання цієї задачі допоможе з‘ясувати зміст довільних сталих.

Задача. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2), якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4x3.

Розв‘язання. У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F, похідною якої є функція f (x) = 4x3 , тобто треба знайти первісну функції y=4x3. Крім того , відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2).

Множина первісних всіх функцій для функції y=4x3 має вигляд F(x) = x4+С, де С – довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2), враховується, що коли x=1, значення функції F (1) має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F(x) = x4+С замість x число 1, а замість F(x) – число 2, дістанемо 2 = 1 + С, звідки С=1. Підставляючи значення С в ту саму рівність дістанемо, що F(x) = x4+1 – шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2).

Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі.

Загальним розв'язком даного диференціального рів¬няння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, зна¬ченнях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sin x + В cos x є загальним, а розв'язок у=cos x - окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'яз¬ку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шука¬ний окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, на¬зивають початковими умовами.

Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умо¬вами називається, задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференці¬ального рівняння

уy'+2х=0. (1)

яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х2 + у2 =а2 (2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 32 + 42 = a2, звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих по¬чаткових умов є функція у, задана рівнянням х2 + у2 =25.