Диференціальні рівняння

де - деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція

х = A cos( t) (32)

для будь-яких сталих A і є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рів¬няння (31).

Функція (32) для будь-яких заданих А, і  описує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число  - початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число називають часто¬тою коливання.

Число коливань за одиницю часу визначають за формулою = .

Як бачимо, загальний розв'язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду А і початкову фазу . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,

x(t0)=x0, x’(t0)=v0. (33)

Тоді для визначення сталих А і дістанемо таку систему рівнянь:

Звідки A2cos2( t0+) + A2sin2( t0)=x02+ ,

A2=x02+ .

Можна вважати, що A>0, тоді A= .Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригоно¬метрії визначають початкову фазу a.

З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв'язку рівняння (31).

Справді, Поклавши, що дістанемо:

До такого диференціального рівняння приводять, наприк¬лад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики – коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.

Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розгля¬нуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з'являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).

3. Висновки.

Ми розглянули якісно різноманітні фізичні явища, при дослідженні яких припадає розв’язувати аналогічні диференційні рівняння першого або другого порядку. Ця обставина має не тільки філософське значення, підтверджуючи єдність природи, і не тільки природнонаукове значення, підкреслюючи чинність математичних засобів в природознавстві. Воно має і велике практичне значення. Аналогічність диференційних рівнянь, стосовних до різноманітних явищ життя, призвела до виникнення важливого засобу розв'язування практичних задач – засобу математичного моделювання. Диференційне рівняння, виникле при розгляді якої-небудь технічної задачі, моделюють, наприклад, електричним приладом, а саме конструюють такий електроприлад, робота якого описується тим же диференційним рівнянням, що і технічний об'єкт. Спостерігаючи за роботою електроприладу, ми зуміємо судити про поведінку цієї функції. Наприклад, нехай деяка механічна система складається з валу, що через пружину і маховик, повантажений в в’язку рідину, передає обертання іншому валу, жорстко зв'язаному з маховиком. Для вивчення роботи цієї системи конструюється інша система – електрична, що складається з джерела EPC, з'єднаного через котушку індуктивності, конденсатор і активний опір зі лічильником електричної енергії. При цьому можна так підібрати значення індуктивності, ємності і опору, щоб вони певним чином відповідали пружності пружини, інерції маховика і тертю рідини. При такій відповідності обидві системи будуть описуватися одним і тим же диференційним рівнянням. В результаті, вимірюючи силу струму і величину напруги, можна судити про роботу першої (механічної) системи.