Диференціальні рівняння

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1).

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку ди¬ференціального рівняння відповідає множина всіх інтег¬ральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива

х2 + у2 = 25, а загальним розв'язком x2 + y2 = а2.У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x2 + у2 = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді форму¬ли. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомо¬гою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.

2. Історична довідка.

У кінці XVII — на початку XVIII ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насам¬перед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегруван¬ня яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функ¬ціями.

Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643—1727) і Готфріда Лейбніца (1646—1716). Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рів¬няння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і тех¬ніки. їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у ба¬гатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що-досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є за¬собом для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між ве¬личинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин. Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких е невідомі функції та їх похідні.

У XVIII ст. теорія диференціальних рівнянь відокремилася з ма¬тематичного аналізу в самостійну математичну дисципліну, її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667—1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736—1813) і особливо Леонарда Ейлера.

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що при¬водять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, роз¬в'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх пер¬вісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціаль¬них рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку.

У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і спосо¬би наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.

2. Основна частина.

I. Рівняння показового росту