Диференціальні рівняння

Розглянемо диференціальне рівняння вигляду

y’(x) = ky(x)(3)

де k – постійна, а y(x) – шукана функція.

Рівняння (3) називається рівнянням показового росту. Воно має такий зміст: для кожного значення аргументу, швидкість зміни функції пропорційно значенню даної функції.

Для того, щоб знайти розв’язки рівняння (3), можна поступити наступним чином. Нехай y(x)- деякий розв’язок, це означає, що y’(x) – ky(x)= 0 вірно. Помноживши обидві частини рівності на відмінний від 0 множник e-kx, отримаємо вірну рівність

e-kx y’(x) – e-kx ky(x) = 0 (4)

Так як (e-kx y(x))’ = e-kx y’(x) – ke-kx y(x), то рівність (4) можна записати так

(e-kx y(x))’ = 0,

звідки e-kx y(x) = C, або

y(x)=Cekx, (5)

де C – деяка довільна постійна.

Отже, тільки функції вигляду (5) можуть бути розв’язками рівняння показового росту (3). Безпосередня підстановка в рівняння (3) показує, що при будь-якій постійній C функція (5) є розв’язком рівняння (3). Таким чином, формула (5) визначає множину розв’язків рівняння (3).

Для того, щоб із знайденої множини розв’язків (5) відокремити визначене, потрібно знати константу C. Для цього потрібні додаткові умови – так названі початкові умови; в даному випадку достатньо знати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу:

y(x0)=y0(6)

Підставивши початкову умову (6) в розв’язок рівняння (5), знайдемо y0=Cekx0, звідки C=y0e-kx0. Підставивши це значення C в формулу (5), отримаємо розв’язок рівняння показового росту, яке задовольняє задано ній початковій умові (6):

y(x) = y0ek(x-x0). (7)Ми бачимо, що постійна C по початковій умові (6) визначається однозначно; ось чому розв’язок (7), який задовольняє даній початковій умові буде єдиним.

Приклад. Розв’язати рівняння y’(x) = 3y(x), якщо y(0) = 2.

Тут k=3, x0=0, y0=2; розв’язання можна записати за формулою (7): y(x)=2e3x. Це буде єдиний розв’язок, задовольняючий заданій початковій умові.

Розглянемо деякі прикладення рівняння (3). При розв’язування задач потрібно спочатку скласти диференціальне рівняння, указати початкову умову, а потім розв’язати рівняння. При складанні рівняння звичайно використовують відомі з курсів фізики та хімії закони.

1. Швидкість прямолінійного руху.

З другого закону Ньютона

(8)