ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ГЕОМЕТРИЧНИХ МІСЦЬ ТОЧОК НА ПЛОЩИНІ І В ПРОСТОРІ

Геометричні місця точок у просторі можуть мати одну, дві чи більше властивостей. Якщо геометричне місце точок визначається однією умовою, що виражається рівністю, то воно є деяка поверхня, а коли ця умова виражається нерівністю, то маємо геометричне тіло.

Якщо геометричне місце визначається двома (трьома) рівностями, то воно складається з точок ліній, які є спільними для двох (трьох) поверхонь.

Іноді геометричне місце може містити в собі всі точки простору. Таким є, наприклад, геометричне місце прямих, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А та В. Будь-яка пряма, паралельна АВ, або та, що проходить через середину відрізка АВ, рівновіддалена від точок А та В. Множина таких прямих заповнює весь простір.

Ми розглядатимемо геометричні місця точок, які визначаються рівностями, тобто вони будуть певними поверхнями.

Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді

Виберемо прямокутну декартову систему координат на площині (0, i, j) і в просторі (0, i, j, k) і розглянемо порівняльну характеристику геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді.

18. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма.18. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, z, є площина.

Наведемо з аналітичної геометрії приклади аналогічних рівнянь прямої в (0, i, j) і площини в (0, i, j, k).

1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 і вектором нормалі n

a(x  x0) + b(y – y0) = 0,

де M0(x0; y0) l, n(a; b) l.

2). Загальне рівняння прямої

aх + bу +c = 0,

де n(a; b) – вектор нормалі прямої.

3). Рівняння прямої “у відрізках на осях”: де А(а;0), В(0;b) точки перетину прямої з осями координат.

4). Нормальне рівняння прямої

x cosα + y sinα p = 0,

де р – відстань від початку координат до прямої,

n0(cosα, sіnα) – одиничний вектор нормалі прямої.

19. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння + =1, є еліпс.

20. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння 1, є гіпербола.

21. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння 1, є гіпербола.