ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ГЕОМЕТРИЧНИХ МІСЦЬ ТОЧОК НА ПЛОЩИНІ І В ПРОСТОРІ

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є площина, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні щини , , які проходять через бісектриси вертикальних кутів, утворених прямими a і b, якщо a x b = 0, або гіперболічний параболоїд, якщо a і b мимобіжні.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, які лежать в одній площині є: пряма m, яка проходить через точку 0 = a x b x с і перпендикулярна до площини дві прямі m,n, які перпендикулярні до площини і проходять через точки M,N перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими; якщо a||b, с перетинає їх; чотири прямі k,l,m,n, перпендикулярні до площини в точках K,L,M,N – центрах вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або , якщо прямі a,b,с паралельні.

Зауваження. Якщо три прямі не лежать в одній площині, то можливі випадки, які на площині не мають аналогів.

а) Прямі перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.

Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох прямих a, b, c, що перетинаються в одній точці і не належать одній площині, є чотири прямі, які проходять через цю точку.

Для побудови цих прямих розглянемо геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих a, b. Це будуть дві цілком визначені площини, β (г.м.т. 6). Аналогічно геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих b, c, будуть площини γ, δ (г.м.т. 6); від прямих a, c – площини і (г.м.т.6). Площини α, β перетинаються з площинами γ, δ, і по чотирьом прямим k, l, m i n, які проходять через точку перетину трьох даних прямих a, b, c. Ці чотири прямі є геометричним місцем точок, рівновіддалених від прямих а, b, c,які перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.

б) Прямі a, b, c паралельні між собою і не лежать в одній площині.

Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох паралельних прямих, які не лежать в одній площині, є пряма m, паралельна до даних.

Ця пряма спільна для трьох площин, які будуються як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для одержання прямої m нема необхідності будувати три площини, достатньо побудувати дві з них.

Природньо розглянути у просторі геометричні місця точок, віддалених на відстань a від даної площини, рівновіддалених від двох, від трьох даних площин.

8. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної площини α на відстань a, є дві площини γ і β, паралельні до α і віддалені від неї на відстань a.

Існують інші розташування прямих у просторі: дві прямі перетинаються, а третя мимобіжна до них; дві прямі паралельні, третя мимобіжна до них; всі три прямі попарно мимобіжні. В цих ипадках ГМТ, рівновіддалених від трьох прямих є перетином гіперболічних параболоїдів, утворених парами мимобіжних прямих.

9. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин α і β, є площина ζ, якщо дані площини паралельні, або дві площини γ, δ, якщо дані площини перетинаються, причому:

- ζ – площина, паралельна до площин α та β і ділить відстань між ними

навпіл.

- γ, δ – перпендикулярні між собою бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами α та β.

10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або :