ПОРІВНЯЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ГЕОМЕТРИЧНИХ МІСЦЬ ТОЧОК НА ПЛОЩИНІ І В ПРОСТОРІ

- геометричне місце прямих простору, паралельних даній прямій АВ і віддалених від неї на відстань a;

- геометричне місце кіл радіуса a, центри яких лежать на даній прямій АВ, а їх площини перпендикулярні до АВ;

- геометричне місце рівних еліпсів, центри яких знаходятся на прямій АВ, а їх площини утворюють з прямою АВ один і той же кут α.

Геометричні місця у просторі надзвичайно різноманітні. Деякі з них є природним узагальненням геометричних місць на площині, є ніби їх стереометричними аналогами (наприклад, сфера є стереометричний аналог кола, площина - аналог прямої тощо).

При переході до вивчення просторових геометричних місць точок доцільно пригадати основні геометричні місця точок на площині. Причому отримані результати зручно подати у вигляді таблиці.

Геометричні місця точок

На площиніУ просторі

1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є коло радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є круг з центром у точці О радіуса a.

3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є пряма l, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є точка О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є дві прямі m i n, паралельні прямій l і віддалені від неї на відстань a.

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є пряма c – вісь симетрії цих прямих, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні прямі m i n – бісектриси вертикальних кутів, утворених при перетині даних прямих, якщо a x b = 0.

Зауваження.

Поверхня гіперболічного параболоїда може бути описана прямою, яка при своєму русі перетинає дві мимобіжні прямі a, b і залишається весь час паралельною до - площини їх паралелелізму.7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, є: точка 0, якщо a x b x с = 0 ; дві точки M,N, якщо a||b, с перетинає їх (M,N – точки перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими); чотири точки K,L,M,N – центри вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або , якщо прямі a,b,с паралельні.1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є сфера радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є куля з центром у точці О радіуса a.

3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є площина , яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС, перпендикулярно до площини трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є кругова циліндрична поверхня радіуса a з віссю симетрії l.