Пакет прикладних програм розв’язання задач для рівнянь з частинними похідними Maple

Універсальна команда pdsolve ( ):

Команда pdsolve ( ) має дві форми виклику:

pdsolve (pardif);

pdsolve (pardif, f, HINT=..., INTEGRATE, build);

Параметр pardif представляє рівняння з частинними похідними з однією невідомою функцією. Загальна стратегія цієї команди полягає в знаходженні загального розв’язку, а якщо це не вдається, то Maple намагається повністю розділити змінні. Коли все вийшло успішно, то команда pdsolve( ) відображає результат в одному із таких виглядів:•загальний розв’язок

•квазі – загальний розв’язок, виражений через довільні функції, явний вигляд яких визначається відповідними граничними і початковими умовами задачі

•набір звичайних диференціальних рівнянь відносно всіх розділених змінних, або загальний розв’язок, якщо заданий параметр INTEGRATE.

В першому випадку розв’язок представляється через довільні функції, але їх кількість дозволяє задовольнити довільним допустимим граничним і початковим умовам. У другому випадку, коли кількість довільних функцій не може забезпечити розв’язок задачі з довільними граничними і початковими умовами, використовується спеціальна структура PDESolStruc представлення квазі- розв’язку, в якій перераховуються розділені змінні, а після ключового слова & where відображається множина звичайних диференціальних рівнянь, якій задовольняють розділені змінні.

У другій формі виклику команди pdsolve ( ) параметри мають такий зміст: після диференціального рівняння потрібно задати функцію, відносно якої задано диференціальне рівняння, якщо рівняння містить производние більше ніж однієї невідомої функції. Решта параметрів є необов’язковими. Не залежно від того чи отримано загальний, чи квазі–загальний розв’язок, можна побудувати явний вигляд розв’язку задавши команду ‘build’. У випадку квазі-розв’язку з розділеними змінними каманда INTEGRATE приведе до негайного інтегрування отриманих звичайних диференціальних рівнянь із структури PDESolStruc.

Команда HINT використовується для вказання, з якого методу розділення змінних слід почати пошук розв’язку. Він задається у вигляді рівняння, права частина якого і визначає метод розділення. Допустимими значеннями можуть бути ‘+’ для задання розділення змінних у вигляді суми, ‘*’ у вигляді добутку та ‘strip’ - застосовується до рівнянь першого порядку і визначає використання методу характеристик для отримання загального розв’язку.

Приклад розв’язання рівнянь з частинними похідними:

>wave:=diff (u(x, t), t$2)=a^2*diff (u(x, t), x$2) ;

wave:= u(x, t)=a ( u(x, t))

> # Загальний розв’язок хвильвого рівняння

> pdsolve (wave) ;

u(x, t) = _F1(at+x)+_F2(at-x)

> # Квазі - загальний розв’язок хвильвого рівняння методом розділення змінних

> pdsolve (wave, HINT=X(x)*T(t));