Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку енергетичної зонної структури монокристалів CdJ2

q, s

Зауважимо, що тут інтегрування по r здійснюється в основній сфері кристала.

Розглянемо локальну частину псевдопотенціала. Форм-фактор потенціалу іона (4) дорівнює:

Vq = V-1.  Vîńň(r).exp(-iqr).d3r.

Для обчислення цього виразу використаємо загальну процедуру. Запишемо розклад плоских хвиль за Релеєм:

exp(iqr) = (2l+1).il.jl(|q.r|.Pl(cosq^r),(9)

де jl(x) – сферичні функції Бесселя, Pl(cosq^r) – поліноми Лежандра l-го порядку і q^r – кут між q і r. Через сферичну симетрію s-орбіталі основний вклад в інтеграл у рівнянні (8) надає лише член ряду з l = 0. Враховуючи, що P0(cosq^r) = 1, одержимо:

 2

V(q) = 4/V  r2.{-Zve2/r)  Ci.erf[i1/2.r]+(Ali+r2.Ali+3).exp(-li.r2)j0(qr)}d3r.(10)

0 i=1

Форм-фактор нелокальної частини псевдопотенціалу (перші два доданки 4) може бути визначений із:

< k + Gi|Vqíë (r, r’)| k + Gj > = V-1  d3r.d3r’.exp[-i(k + Gi).r]. { (Ail + r2.Ail+3).

exp(-il.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).exp(-(0)l r2).Pl}.exp[-i(k + Gj).r].(11)

Проекційний оператор l-ої компоненти моменту має вигляд:

Pl = Ylm(i,).Y*lm(‘i,‘),(12)

де Ylm(i,) – сферичні гармонічні. За визначенням, дія проекційного оператора на довільну функцію виражається так:

Pl exp(ikr) = Ylm(i,).{ d'.sin'.d'.Y*lm(‘,‘).exp(ikr)},(13)

де , ', , ' – полярний і азимутальний кути векторів k i r. Використовуючи (13), рівняння (11) можна записати:

l  2 

< k + Gi|Vqíë (r, r’)| k + Gj > = V-1   r2dr  d  sin d

m=-l 0 0 0

3

exp[-i(k + Gi).r].Ylm(,){ (Ail + r2.Ail+3).exp(-il.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).

l=1

2 