Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку енергетичної зонної структури монокристалів CdJ2

Для розрахунку енергетичної зонної структури кристалів останнім часом набув поширення метод апріорних атомних псевдопотенціалів (ПП). У загальних рисах цей підхід ґрунтується на самоузгодженому пошуку ПП у наближенні функціонала локальної спінової густини. Стартова точка цієї процедури базується на релятивіському рівнянні Дірака для хвильової функції Gl(r) і Fl(r):

dFl(r)/dr - (g/r).Fl(r) + .[El - V(r)]Gl(r) = 0(1a)

dGl(r)/dr + (g/r).Gl(r) - [(2/2) + El - V(r)].Fl(r) = 0,(1b)

де l = -1=137.07 – обернене значення константи надтонкої структури; g - ненульове ціле число. Розв’язки рівняння (1) визначають густину заряду:

(r) =  [|Gl(r)|2 + | Fl(r)|2].(2)

El < EF

Використовуючи процедуру нелінійної інтерполяції, визначимо псевдопотенціал:

Vps(l)(r) = Vост(r) + Vioн(l)(r)+ Vсо(l)(r),(3)

де Vост(r) – остовний потенціал, V(l)ioн(r) визначає іонну корекцію псевдопотенціалу і V(l)со(r) – спін-орбітальна корекція. Кожний з вищенаведених доданків може бути виражений в аналітичній формі і тому відповідні матричні елементи можна точно обчислити (замість числового інтегрування):

Vîńň(r) = (-Zv.e2/r). Ci.erf[i1/2.r];(4)

Vłîí(r) = (Ai+r2.Ai+3).exp(-i.r2).(5)

Інтерполяційні коефіціенти Ai, i, CI, i визначаються як розв`язки самоузгодженого рівняння Дірака – Хартрі – Фока – Слетера для конкретних атомів з відповідними орбітальними числами з подальшою нелінійною інтерполяцією (4, 5).

Повний псевдопотенціал є сумою нелокальних псевдопотенціалів, які перекриваються і розміщені в точках p,q. Взаємодія електрона з остовами, які описуються періодичними іонними ПП, визначається оператором:

Vps(r, r') =  Vq,s(r - Rp - q,s,  - Rp - q,s), (6)

p,q,s

де Rp – вектор прямої ґратки, який визначає розташування елементарної комірки; q,s – вектор, який визначає розташування s-го іона сорту q в елементарній комірці. При обчисленні матричних елементів секулярного рівняння в базисі плоских хвиль необхідно перейти від r-простору до оберненого G-простору за допомогою Фур’є перетворення:

=N-1 exp[-iq(Rp + q,s)].V-1.

 dr.dr’.exp[-i(k+Gj).r].Vq(r, r').exp[i(k+Gj).r'],(7)

де q = Gi - Gj і V – об’єм першої зони Бріллюена. Враховуючи, що qj.i = 2..ij (i, qj – основні вектори прямої й оберненої ґратки) знаходимо, що при довільних значеннях p exp(-iqRp) = 1, а тому сума по p просто дає множник N i остання рівність у локальному наближенні набуває вигляду:

=  exp[-iq.q,s)].V-1. d3r.exp[-i(q.r].Vq(r) (8)