Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції

З рівняння зв’язку (2.1.1) знаходимо:

(2.2.4)

ІІІ Перейдемо до розгляду найбільш загального класу задач на знаходження моментів інерції, - знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.

Приклад 3.1. Визначити момент інерції кулі маси та радіусу відносно осі, що проходить через її центр.

Розв’язок:

В даному випадку зручно для початку знайти момент інерції сфери з тими ж параметрами. З огляду симетрії шуканий момент інерції буде співпадати з кожним із значень моменту інерції відносно декартових осей координат . Але сума останніх за рівнянням зв’язку (16) дорівнює подвоєному моменту інерції сфери відносно точки центра сфери, який згідно виразу (15) дорівнює:

(3.1.1)

Отже моменти інерції відносно координатних осей будуть рівні двом третім :

Рис. 5

(3.1.2)

Перейдемо до знаходження моменту інерції самої кулі.

1. Для цього виділимо її елемент у вигляді тонкостінної сфери радіуса та товщини (Рис. 5). Момент інерції цієї сфери відносно будь-якої осі, що проходить через її центр, а отже і через центр кулі, згідно (3.1.2) дорівнює:

(3.1.3)

2. Згідно рівностям (5) і (6) масу виразимо через густину кулі . Маючи на увазі, що об’єм виділеної сфери , запишемо:

(3.1.4)

3. Підставляючи отримане значення маси у рівність (3.1.3), й інтегруючи його по всіх можливих радіусах сфер, матимемо:

(3.1.5)

Приклад 3.2. Знайти моменти інерції суцільного циліндра маси , висотою та радіусом основи А) Відносно вісі ; Б) осей . (Рис. 6)

Розв’язок:

А) Виділимо елемент циліндру у вигляді нескінченно тонкого диску товщиною . Момент інерції цього диску відносно осі OZ за формулою (2.2.3) дорівнює:

Рис. 6

(3.2.1)

Інтегруючі по всьому циліндру отримуємо: