Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції

Приклад 2.1. Знайти моменти інерції тонкої квадратної пластинки маси зі стороною , відносно координатних осей OX, OY та OZ (Рис. 3).

Розв’язок:

З огляду симетрії моменти інерції відносно осей OX та OY однакові. Маса як і у попередній задачі розподілена у площині, отже враховуючи рівність (17) маємо:

Рис. 3

(2.1.1)

Тобто достатньо знайти момент інерції відносно будь-якої вісі, інші ж виразяться з рівняння зв’язку (2.1.1). Зручно знайти момент інерції відносно вісі OX чи OY. Виберемо, наприклад, вісь ОY.

1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого стержня нескінченно малої товщини , який знаходиться на відстані від лінії, що проходить через центр мас пластинки. Тоді момент інерції цього елементу, визначимо за теоремою Штейнера:

(2.1.2)

Тут ми скористалися отриманим розв’язком (1.1.4) для стержня. Відмінним є те, що для пластинки маса не зосереджена в стержнях нескінченно малої товщини, а рівномірно розподілена по всій поверхні цієї плоскої фігури. Тому в формулі (1.1.4) маса буде дорівнювати .

2. Згідно рівностям (9) та (11) масу можна виразити через поверхневу густину . Для цього зазначимо, що повна площа пластинки , а її елемент . Отже:

(2.1.3)

3. Значення для моменту інерції всієї пластинки отримується шляхом інтегрування рівності (2.1.2) по всій її поверхні:

(2.1.4)

Того ж самого значення набуде і . Для з рівності (2.1.1) маємо:

Приклад 2.2. Визначити моменти інерції тонкої круглої пластинки маси та радіусу відносно декартових координатних осей (Рис. 4).

Розв’язок:

Як і у попередній задачі тут працює рівняння зв’язку (2.1.1). Отже для зручності будемо знаходити момент інерції відносно осі OZ.

1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого кільця радіуса . Момент інерції цього кільця згідно (1.2.2) дорівнює:

(2.2.1)Згідно рівностям (9) та (11) масу можна виразити через поверхневу густину . Оскільки площа вибраного кільця , маємо:

Рис. 4

(2.2.2)

Підставляючи отримане значення маси у рівність (2.2.1), й інтегруючи його по всіх можливих радіусах кілець, отримуємо:

(2.2.3)