Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції

(4)

Масу можна виразити через функцію розподілу маси :

(5)

У випадку рівномірного розподілу формула (5) спрощується:

(6)

Де - маса, - об’єм всього тіла, - його об’ємна густина.

В ряді задач масу можна вважати розподіленою по поверхні чи по лінії. Тоді якщо можливо вибрати таку систему координат, щоб вздовж певних осей не відбувалося зміни маси, то об’ємну густину можна виразити відповідно через поверхневу чи лінійну за допомогою -функції. В разі обрання декартової системи координат для випадків плоского та лінійного розподілу маси дійсні такі представлення:

(7)

(8)

Підставляючи отримані вирази у формулу (5), представляючи й інтегруючи, отримаємо:

(9)

(10)

Або у випадку рівномірного розподілу:

(11)

(12)

Таким чином знаходження моменту інерції зводиться до представлення маси через щільність розподілу й інтегрування виразу (4). В деяких випадках вже відоме значення моменту інерції тіла відносно вісі, яка проходить через його центр мас. Тоді для знаходження моменту інерції відносно шуканої вісі зручно скористатися теоремою Штейнера:

(13)

Де – момент інерції відносно обраної осі; – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас та паралельна обраній; ОС – відстань між цими осями.

Окрім поняття моменту інерції відносно вісі, існує поняття моменту інерції відносно точки. Хоча момент інерції відносно точки сам по собі не відіграє ніякої ролі в динаміці, з його допомогою часто можливо значно спростити обчислення моментів інерції відносно вісі (див. Приклад 3.1). За означенням моментом інерції тіла відносно точки є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї точки:

(14)

У випадку неперервного розподілу маси в виразі (14) необхідно перейти від сумування до інтегрування: