Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції

(1.1.1)

2. Для визначення маси скористаємося формулою (10) - зв’язку маси з лінійною густиною стержня . Вираз (1.1.1) набуде вигляду:

(1.1.2)

3. Оскільки маса в стержні розподілена неперервно, то момент інерції всього стержня отримується інтегруванням по всіх його точках рівності (1.1.2):

(1.1.3)

Б) Обираючи систему координат з початком відліку у центрі стержня можна повторити розсуд й отримати значення моменту інерції відносно осі, що проходить через центр мас. При цьому різниця буде лише в формулі (1.1.3): інтегрування буде відбуватися від до . Отже .

З іншого боку момент інерції можна визначити за теоремою Штейнера (13), спираючись на отримане значення моменту інерції в формулі (1.1.3):

(1.1.4)

Приклад 1.2. Визначити момент інерції тонкого однорідного кільця маси і радіусу відносно осі: А) що проходить через центр кільця, й перпендикулярна площині, якій належить кільце; Б) лежить у цій площині.

Розв’язок:

А) Розглядаючи перший випадок перейдемо до полярної системи координат (Рис. 2). 1. Виділимо безмежно малий елемент кільця масою з координатами . Момент інерції цього елемента дорівнює:

(1.2.1)

2. У випадку лінійного розподілу можливо виразити масу через кутову густину ): .

3. Інтегруючи по всьому кільцю, отримуємо:

(1.2.2)

Рис. 2

Б) Для розв’язання задачі у випадку коли вісь належить площині проведеній через кільце, помітимо, що з огляду симетрії момент інерції відносно цієї осі буде дорівнювати моментам інерції відносно декартових координатних осей OX і OY. Причому . Оскільки маса розподілена у площині, має місце співвідношення (17), яке для розглядаємого випадку можна записати у вигляді:

(1.2.3)

Отже, використовуючи отриманий розв’язок (1.2.2), знайдемо:

(1.2.4)

ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині є більш комплексною задачею, ніж для лінійного розподілу. Задача набагато спрощується, якщо скористатися вже отриманими формулами (1.1.3), (1.1.4), (1.2.2) і (1.2.4). Розглянемо низку задач, найбільш характерних для цього класу.