Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції

(15)

Крім того, що сума моментів інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює його подвійному моменту інерції відносно цієї точки [3]:

(16)

У випадку плоского розподілу маси можна вибрати систему координат так, щоб . Тоді вираз (16) набуде вигляду:

(17)

В даній роботі розглянута методика розв’язку задач на знаходження моменту інерції. Отримані розв’язки можуть бути використані при знаходженні моментів інерції більш складних, нерозглянутих в цій роботі фігур. Класифікуємо задачі даної теми згідно наростанню їх складності та комплексності рішення:

I.Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії.

II.Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині.

III.Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об’єму.

В загальному випадку для розв’язку задач з розглядаємої теми пропонуємо використовувати таку послідовність дій:

1.Проаналізувати фігуру, момент інерції якої треба знайти, з метою обрання нескінченно малої області цієї фігури, яка відображає її симетрію, й момент інерції якої відомий.

2.Виразити масу обраного елементу через густину розподілу.

3.Проінтегрувати момент інерції нескінченно малої області по всій фігурі для знаходження шуканого моменту інерції.При аналізі фігури в першому пункті слід звертати увагу на можливість простішого розв’язку задачі за допомогою теореми Штейнера, чи за допомогою обчислення моменту інерції відносно точки.

Розглянемо деякі найбільш демонстративні приклади знаходження моменту інерції. Для простоти викладення будемо вважати, що маса розподілена рівномірно.

Основна частина

І Для знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії скористаємося розв’язком найпростішої задачі – знаходження моменту інерції точки. Розглянемо тонкий стержень довжини та тонке кільця радіуса .

Приклад 1.1. Визначити момент інерції тонкого стержня маси та довжини відносно осі, що проходить А) через один з його кінців; Б) через центр мас.

Розв’язок:

Рис. 1

А) 1. Розглянемо елемент стержня безмежно малої довжини (Рис. 1). З огляду малості цей елемент можна розглядати як точковий з масою відповідно. За означенням момент інерції елементу , що знаходиться на відстані від осі обертання, дорівнює: