Термодинамічні властивості газу вільних електронів

Порівнюючи цей вираз із класичним результатом для ідеального газу (cv=3/2•kB), ми бачимо, що статистика Фермі-Дірака приводить до пониження питомої теплоємності за рахунок множника (π2/3)(kBT/EF), який пропорційний температурі і має порядок 10-2 Цим пояснюється відсутність спостерігаю чого вкладу електронних ступенів вільності в питому теплоємність металу при кімнатній температурі.

Для грубих обрахунків питомої теплоємності досить проаналізувати залежність від температури функції Фермі.

Передбачення лінійного вкладу в питому теплоємність являє собою одне з важливих наслідків статистики Фермі-Дірака. Воно дозволяє ще раз провірити теорію електронного газу в металах, при умові, що ступені вільності відмінні від електронних, не дають порівняльного або великого вкладу. В дійсності виявляється, що при високих температурах основний вклад в теплоємність вносять інші ступені вільності. Але при температурах набагато нижчих від кімнатної їх вклад падає пропорційно кубу температури і при дуже низьких температурах стає нижче електронного, який зменшується лінійно з температурою Т. Щоб розділити ці два вклади, зазвичай будують криву залежності cv/T від T2. Дійсно, при врахуванні електронного і іонного вкладів теплоємність при низьких температурах становить

cv=γT+AT3 (33)

тоді

cv/T=γ+AT2 (34)

Тому можна знайти γ.

Значення питомої теплоємності вказують в Дж/мольК.

Щоб знайти теплоємність одного моля c, необхідно помножити віднесену до одиниці об’єму питому теплоємність cv на ZNA/n

c= π2ZRkBTg(EF)/3n (35)

де

R=kBNA=8,314 Дж/моль К

Використовуючи вираз (16) для густини рівнів вільних електронів і вичислене вище значення EF/kB, отримаємо, що вклад вільних електронів в теплоємність одного моля дорівнює c=γT, де

γ= π2ZR/2TF=0,169Z(rS /a0)210-4 калмоль-1 К-2 (36).

6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.

Щоб знайти розподіл по швидкостях для електронів у металі розглянемо малий елемент об’єму dk, поблизу точки k в k-просторі. З врахуванням дворазового спінового виродження число одно електронних рівнів в цьому елементі об’єму дорівнює

(V/4π3)dk (37)

Ймовірність заповнення кожного рівня є f(E(k)), тому повне число електронів в елементі об’єму k-простору дорівнює

Vf(E(k))dk/4π3 , E(k)=ħ2k2/2m (38)

Оскільки швидкість вільного електрона з хвильовим вектором k дорівнює v=ħk/m, то число електронів в елементі об’єму dv поблизу v співпадає з числом електронів в об’ємі dk=(m/ħ)3dV поблизу точки k=mv/ħ. Отже, повне число електронів в розрахунку на одиницю об’єму в реальному просторі, що містяться в елементі простору dv швидкостей поблизу v, дорівнює