Термодинамічні властивості газу вільних електронів
Для опису окремого електрона необхідно знати його хвильову функцію Ψ(r) і вказати, який напрям має спін. Згідно СРШ маємо:
-ħ/2m(∂ 2 / ∂ x2+ ∂ 2 / ∂ y2+∂ 2 / ∂ z 2)Ψ(r)= -ħ/2m▼2Ψ(r)=εΨ(r) (4).
Оскільки електрон рухається в металі об’ємом V, то вводячи граничні умови приймемо, що в нас є куб зі стороною L=V 1/3. При граничних умовах
Ψ(x+L)=Ψ(x), тому для куба маємо:
Ψ(x,y,z+L)=Ψ(x,y,z)
Ψ(x,y+L,z)=Ψ(x,y,z) (5).
Ψ(x+L,y,z)=Ψ(x,y,z)
Співвідношення (5) називаються граничними умовами Борна-Кармана.
Знайдемо розв’язок, що задовольняє граничні умови (5). Розв’язок (4), якщо знехтувати граничними умовами має вигляд:
Ψk(r)=eikr/√V (6),
при цьому:
ε(k)=ħk2/2m (7),
де k- будь-який вектор, який не залежить від просторових координат. В (6) ми вибрали нормований множник так, щоб ймовірність знаходження електрона будь-де по всьому об’єму V дорівнювала одиниці:
1=∫dr|Ψ(r)|2 (8).
Хвильова функція Ψk(r) являє собою відповідну функцію оператора імпульсу:
p=(ħ/i)( ∂/∂r)= (ħ/i)▼ ( px=(ħ/i)( ∂ / ∂x), py=(ħ/i)( ∂ / ∂y), pz=(ħ/i)( ∂ / ∂z) ) (9),
5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.
В газі вільних і незалежних електронів одно електронні рівні описуються хвильовим вектором k і спіновим числом s: енергії рівнів не залежать від s (при відсутності магнітного поля ) і визначаються виразом:
E(k)=ħ2k2/2m (1)
В основному стані зайняті тільки ті рівні, в яких E(k)≤EF, тому в основному стані функція розподілу повинна мати вигляд:
fkS={1, E(k)
З іншої сторони в границі T→0 розподіл Фермі-Дірака набере вигляду
limT→0fkS={1, E(k)<μ ; 0, E(k)>μ (3)
Щоб ці два вирази були сумісні, повинна виконуватися умова: