Термодинамічні властивості газу вільних електронів

an- безрозмірна стала порядку одиниці.

Як правило, з всієї суми (20) залишають перший і (дуже рідко) другий члени. Вони мають наступний вигляд:

∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+π2/6(kBT)2H’(μ)+7π4/360(kBT)4H’’’(μ)+ O(kBT/μ)6 (21)

Щоб розрахувати питому теплоємність металу при температурах, малих порівняно з TF, скористуємося розкладом Зоммерфельда (21) і застосуємо його до інтегралів (17) і (18) для густини енергії і густини числа електронів:

U=∫0,μEg(E)dE+ π2/6(kBT)2[μg’(μ)+g(μ)+ O(T)4 ] (22)

n=∫0,μg(E)dE+ π2/6(kBT)2g’(μ)+ O(T)4 (23)

З виразу (23) слідує, що μ відрізняється від свого значення EF при T=0 лише на величину порядку T2. Тому з точністю до T2 можна записати

∫0,μH(E)dE=∫0,EFH(E)dE+(μ-EF)H(EF) (24)

Аналогічним чином у виразах(22) і (23) отримаємо

U=∫0,EFEg(E)dE+ EF ((μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g’(EF))+ π2/6(kBT)2g(EF) + O(T)4 (25)

n=∫0,EFg(E)dE+((μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g’(EF))+ O(T)4 (26)

Перші члени в правих частинах, незалежні від температури, являють значення u і nдля основного стану. Оскільки ми розраховуємо питому теплоємність при постійній густині, то величина n не залежить від температури і вираз (26) зводиться до співвідношення:

0=(μ-EF)g(EF)+ π2/6(kBT)2g’(EF) (27)

яке визначає відхилення хімічного потенціалуμ відEF

μ= EF- π2/6(kBT)2g’(EF) /g(EF) (28)

Оскільки для вільних електронів густина рівнів g(E) пропорційна E1/2 (див. (14)), отримаємо

μ= EF(1-1/3(πkBT/2EF)2) (29)

тобто, зміна μ має порядок T2 і складає близько 0,01% навіть при кімнатних температурах.Враховуючи (27) член в фігурних дужках у виразі (25) перетворюється в нуль, тому вираз для густини теплової енергії при постійній густині електронів набуває більш простої форми

u=u0+ π2/6(kBT)2g(EF) (30)

де u0- густина енергії в основному стані.

Отже, питома теплоємність електронного газу:

cv=(∂U/∂T)n=π2k2Tg(EF)/3 (31)

і для вільних електронів (див.(16)) маємо

cv=(π2/2)(kBT/EF)nkB (32)