Термодинамічні властивості газу вільних електронів

limT→0 μ=EF (4)

Одним з найбільш важливих прикладів застосування статистики Фермі-Дірака може служити розрахунок електронного вкладу в питому теплоємність металу при постійному об’ємі

cv=(T/V)(∂S/∂T)v=(∂U/∂T)v , (5)

u=U/V

В наближенні незалежних електронів внутрішня енергія U рівна сумі добутків E(k) на середнє число електронів на даному рівні, взятій по всіх одно електронних рівнях

U=2∑kE(k)f(E(k)) (6)

Щоб підкреслити, що fk залежить від k тільки через енергію електрона E(k) , ми ввели функцію Ферміf(E)= 1/(exp((E-μ)/kST)+1) (7)

Якщо поділити дві частини рівності (6) на об’єм V, використовуючи рівність

limV→∞(1/V)∑kF(k)=∫dkF(k)/8π3,

то густину енергії u=U/V можна записати у вигляді

u=∫dkE(k)f(E(k))/4π3 (8)

Розділивши на V також і дві частини співвідношення

N=∑i1/(exp((E-μ)/kST)+1),

можна доповнити (8) виразом для густини електронів n=N/V і використати його для виключення хімічного потенціалу

n=∫ f(E(k))dk/4π3 (9)

При розрахунку типу (8) і (9) , які мають форму

∫ F(E(k))dk/4π3 (10)

часто використовують те, що підінтегральний вираз залежить від k лише через енергію електрона E=ħ2k2/2m. Переходячи в інтегралі до сферичних координат і замінюючи k на E, маємо

∫ F(E(k))dk/4π3=∫0,∞k2dk F(E(k))/ π2=∫-∞,∞dEg(E)F(E) (11)

Тут

g(E)={(m/ħ2π2 )√2mE/ ħ2 , E>0; 0, E<0.

Оскільки інтеграл (10) являє границю суми

(1/V)∑ksF(E(k)),

із виразу слідує, що