Термодинамічні властивості газу вільних електронів

1. Вступ

2. Властивості електронного газу в основному стані.

3. Термодинамічні властивості газу вільних електронів.

4. Розподіл Фермі-Дірака.

5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.

6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.

7. Термо-електрорушійна сила.

8. Недоліки моделі вільних електронів.

9. Основні припущення.

1. Вступ

В часи Друде, а потім і протягом багатьох років цілком розумним здавалося припущення, що розподіл електронів за швидкостями співпадає з розподілом у звичайному класичному газі з концентрацією n-N/V і описується в стані рівноваги при температурі T формулою Максвела-Больцмана. За таким припущенням число електронів в одиниці об’єму, швидкості яких лежать в інтервалі dV з центром V дорівнює fB(V)dV, де:

fB(V)=n(m/2πkBT)3/2e-mvv/2kT (1).

З цього видно, що електрони мають давати великий вклад в теплоємність металу, який дорівнює 3/2•kB на один електрон. Проте такий вклад помічений не був.

На протязі чверті століття цей парадокс викликав сумніви в справедливості моделі Друде, які розсіялись лише після створення квантової теорії і признання того факту, що для електронів в силу принципу заборони Паулі розподіл Максвела-Больцмана має бути замінений розподілом Фермі-Дірака:

f(V)=((m/ħ)3/4π3)(1/(exp((mv2/2-kBT0)/ kBT)-1)) (2).

Тут ħ- стала Планка, поділена на 2π, а T0- температура, що визначається з формули T=0,01T0 і зазвичай дорівнює десяткам тисяч градусів.

n=∫ f(V)dV (3).

При температурі нижче 103К і при електронних концентраціях, характерних для металів, розподіл Фермі-Дірака надзвичайно сильно відрізняється від розподілу Максвела-Больцмана.

Зомерфельд застосував принцип заборони Паулі до вільного електронного газу в металах. Модель Зомерфельда являє собою модель класичного електронного газу Друде, але розподіл електронів описується статистикою Фермі-Дірака, а не Максвела-Больцмана.

2. Властивості електронного газу в основному стані.

Нам необхідно розрахувати властивості основного стану системи із N електронів, що знаходяться в об’ємі V. Оскільки електрони не взаємодіють один з одним, основний стан цієї системи можна знайти вичисливши спочатку рівні енергії окремого електрона в об’ємі V і заповнюючи потім всі рівні знизу вверх у відповідності з принципом Паулі, який забороняє двом електронам одночасно займати один електронний рівень.