Термодинамічні властивості газу вільних електронів

g(E)dE=(1/V)l (13)

де l- число одно електронних рівнів в інтервалі енергій від E до E+dE.

g(E) називають густиною рівнів в розрахунку на одиницю об’єму (або густиною рівнів). g зручно записати у виді:

g(E)={3n/2EF(E/EF)1/2 , E>0; 0, E<0 (14)

Особливо важливо знати числове значення густини рівнів біля поверхні Фермі, яке може бути представлене в двох еквівалентних формах, що випливають з співвідношень (12) і (14)

g(EF)=mkF/ħ2π2 (15)

або

g(EF)= 3n/2EF (16)

Використовуючи введені позначення, запишемо вирази (8) і (9) наступним чином:

U==∫-∞,∞dEg(E)F(E) (17) і

n=∫-∞,∞dEg(E)f(E) (18)

Якщо визначити густину рівнів з допомогою виразу (13), то ми отримаємо для конкретного випадку, а вирази (17) і (18) справедливі для будь-якої кількості невзаємодіючих (незалежних) електронів.

Інтеграли (17) і (18) мають складну структуру, але їх можна розкласти в ряд тому, що при всіх температурах, які представляють інтерес для металів, при температурах набагато меншій за температуру Фермі.

Функція f(E) відрізняється від свого значення при нульовій температурі лише в малій області шириною порядку kBT поблизу μ.

Тому відмінність інтегралів типу

∫-∞,∞H(E)f(E)dE

від їх значень для нульової температури

∫-∞,EFH(E)dE

повністю визначається видом функції H(E) поблизу точки E=μ. Якщо H(E) міняється мало в області шириною порядку kBT поблизу точки μ, то температурну залежність інтеграла можна знайти, замінивши функціюH(E) на суму декількох перших членів її розкладу в ряд Тейлора при E=μ:

H(E)=∑n=0,∞ (dn/dEn) H(E)|E-μ(E-μ)n/n! (19)

Результат має форму ряду

∫-∞,∞H(E)f(E)dE=∫-∞,∞H(E) dE+∑n=1,∞ (kBT)2nan(d2n-1/dE2n-1)H(E)|E-μ (20)

який називається розкладом Зоммерфельда.