Питання про взаємозв'язок математики і філософії

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання про необхідність впорядкування самого знання, про засоби засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних поділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу в якості ілюстрацій загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, є навчання, що "засноване на (деякому) вже раніше наявному знанні... Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясовування чотирьох питань: "що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".

Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань із початків, відповідно до Аристотелеві, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати розділи, кожний із який розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доказує: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкта, предмету і засобам доказу.

Існування математичних об'єктів признавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

1.У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "знаходитися в тому ж самому місці два тіла не в змозі";

2."Неможливо і те, щоб такі реальності існували окремо".Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких являється чимось одним, даним у наявності. Та або інша кількість є множина, якщо її можна рахувати, це розмір, якщо його можна виміряти". Множиною при цьому називається те, "що в можливості (потенційно) ділиться на частини не безупинні, величиною те, що ділиться на частині безупинні". Перед тим, як дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття безкінечного, тому що "воно ставиться до категорії кількості" і виявляється насамперед у безупинному. "Що безкінечне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників із п'ятьох основ: із часу (тому що воно нескінченно); із поділу розмірів…; далі, тільки в такий спосіб не вичерпуються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкіля береться виникаюче. Далі, із того, що кінцеве завжди граничить із чим-небудь, тому що необхідно, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більше усього -...на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається безкінечним, і математичні розміри". Чи існує безкінечне як окрема сутність або воно є акциденцією розміру або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо безкінечне не є ні розмір, ні множина, а саме є сутністю..., то воно буде неподільне, тому що ділене буде або розміром, або множиною. Якщо ж воно не неподільне, воно не нескінченно в змісті непрохідного до кінця". Неможливість математичного безкінечного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне безкінечне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час безкінечне" не існує, адже "...якщо можливо перерахувати численне, то буде можливість пройти до кінця і безкінечне". Таким чином, безкраїсть тут у потенції існує, актуально ж - немає.

Спираючись на викладене вище розуміння безкінечного, Аристотель визначає безперервність і переривчастість. Так, "безупинне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, наслідуючи за іншим, стосується його". Число як типово перериване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць. Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що "точкам, із яких було б складене безупинне, необхідно або бути безупинними, або торкатись один одного". Але безупинними вони не будуть: "адже краю точок не утворюють чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краюї, ні іншої частини". Точки не можуть і торкатись одна одної, оскільки торкаються "всі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно торкатись цілком, але те що торкається цілком не утворить безупинного".

Неможливість упорядкування безупинного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди подільні частини, установлені для розміру, Аристотель поширює на рух, простір і час, обгрунтовуючи (наприклад, у "Фізиці") правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних розмірів суперечить основним властивостям руху. Виділення безупинного і перериваного як різних родів буття послужило основою для розмежування в логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.