Питання про взаємозв'язок математики і філософії

а) У пізнанні виходити від одиничного;

б)Будь-які предмет і явище розкладені до найпростіших елементів (аналіз) і з'ясовні виходячи з них (синтез);

в) Розрізняти існування "по істині" і "відповідно до думки";

г) Явища дійсності - це окремі фрагменти упорядкованого космосу, що виник і функціонує в результаті дій чисто механічної причинності.Математика по праву повинна рахуватися в Демокріта першим поділом власне фізики і випливати безпосередньо за канонікою. Справді, атоми якісно однорідні і їхні первинні властивості мають кількісний характер. Проте було б неправильно трактувати навчання Демокріта як різновид піфагореїзму, оскільки Демокріт хоча і зберігає ідею панування у світі математичної закономірності, але виступає з критикою апріорних математичних побудов піфагорійців, рахуючи, що число повинно виступати не законодавцем природи, а витягатися з її. Математична закономірність виявляється Демокрітом із явищ дійсності, і в цьому контексті він передбачає ідеї математичного природознавства. Вихідні початки матеріального буття виступають у Демокріта в значній мірі як математичні об'єкти, і відповідно до цього математику приділяється значне місце в системі світогляду як науці про первинні властивості речей. Проте включення математики в основу світоглядної системи вимагало її перебудови, приведення математики у відповідність із вихідними філософськими положеннями, із логікою, гносеологією, методологією наукового дослідження. Створена в такий спосіб концепція математики, називана концепцією математичного атомізму, виявилася істотно відмінною від попередніх.

У Демокріта всі математичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) виступають у визначених матеріальних уявах. Ідеальні площини, лінії, точки в його навчанні відсутні. Основною процедурою математичного атомізму є розкладання геометричних тіл на найтонші листочки (площини), площин - на найтонші нитки (лінії), ліній - на дрібні зернятка (атоми). Кожний атом має малий, але ненульовий розмір і далі неподільний. Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, що утримуються в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній на площині і площин у тілі. Число атомів у кінцевому обсязі простору не нескінченне, хоча і настільки велике, що недосяжне почуттям. Отже, головною відмінністю навчання Демокріта від розглянутих раніше є заперечення ним безкінечної подільності. У такий спосіб він вирішує проблему правомірності теоретичних побудов математики, не зводячи їх до почуттєво сприйманих уяв, як це робив Протагор. Так, на міркування Протагора про торкання окружності і прямої Демокріт міг би відповісти, що почуття, що є відправним критерієм Протагора, показують йому, що чим точніше креслення, тим менше ділянка торкання; у дійсності ж ця ділянка настільки мала, що не піддається почуттєвому аналізу, а ставиться до області істинного пізнання.

Керуючись положеннями математичного атомізму, Демокріт проводить ряд конкретних математичних досліджень і досягає видатних результатів (наприклад, теорія математичної перспективи і проекції). Крім того, він зіграв, за свідченням Архімеда, немаловажну роль у доказі Евдоксом теорем про обсяг конуса і піраміди. Не можна з упевненістю сказати, чи користувався він при рішенні цієї задачі методами аналізу нескінченно малих. А.О.Маковельский пише: "Демокріт вступив на шлях, по якому далі пішли Архімед і Кавальєрі. Проте, підійшовши впритул до поняття нескінченно малого, Демокріт не зробив останнього рішучого кроку. Він не припускає безмежного збільшення кількості складових, що утворять у своїй сумі даний обсяг. Він приймає лише надзвичайно велике, що не піддається численню внаслідок своєї величезності число цих складових".

Видатним досягненням Демокріта в математиці явилася також його ідея про побудову теоретичної математики як системи. У зародковій формі вона являє собою ідею аксіоматичної побудови математики, що потім була розвита в методологічному плані Платоном і одержала логічно розгорнуте положення в Аристотеля.

Платонівський ідеалізм

Твори Платона (427-347 р. до н.е.) - унікальне явище у відношенні виділення філософської концепції. Це високохудожнє, що захоплює опис самого процесу становлення концепції, із сумнівами і непевністю, часом із безрезультатними спробами вирішення поставленого питання, із поверненням до вихідного пункту, численними повтореннями і т.п. Виділити у творчості Платона якийсь аспект і систематично викласти його досить складно, тому що потрібно реконструювати думки Платона з окремих висловлень, що настільки динамічні, що в процесі еволюції думки часом перетворюються у свою протилежність.

Платон неодноразово висловлював своє відношення до математики і вона завжди оцінювалася їм дуже високо: без математичних знань "людина з будь-якими природними властивостями не стане блаженним", у своїй ідеальній державі він припускав "затвердити законом і переконати тих, що мають намір зайняти в місті високі посади, щоб вони тренувались у науці числення". Систематичне широке використання математичного матеріалу має місце в Платона, починаючи з діалогу "Менон", де Платон підводить до основного висновку за допомогою геометричного доказу. Саме висновок цього діалогу про те, що пізнання є пригадування, став основним принципом платонівської гносеології.Значно в більшій мірі, чим у гносеології, вплив математики виявляється в онтології Платона. Проблема будови матеріальної дійсності в Платона одержала таке трактування: світ речей, сприйманий за допомогою почуттів, не є світ істинно існуючого; речі безупинно виникають і гинуть. Щирим буттям володіє світ ідей, що безтілесні, нечуттєві і виступають стосовно речей як їхньої причини й уяви, по котрим ці речі створюються. Далі, крім почуттєвих предметів і ідей він установлює математичні істини, що від почуттєвих предметів відрізняються тим, що вічні і нерухомі, а від ідей - тим, що деякі математичні істини подібні одна з одною, ідея ж всякий раз тільки одна. У Платона в якості матерії початками є велике і мале, а в якості сутності - єдине, тому що ідеї (вони ж числа) утворюються з великого і малого через прилучення їх до єдності. Почуттєво сприйманий світ, відповідно до Платона, створений Богом. Процес побудови космосу описаний у діалозі "Тимей". Ознайомившись з цим описом, потрібно визнати, що Творець був добре знайомий із математикою і на багатьох етапах створення істотно використовував математичні положення, а часом і виконував точні обчислення.