Питання про взаємозв'язок математики і філософії

Аристотель був одним із перших, хто спробував пояснити причини появи піфагорівської концепції математики. Він бачив їх у межах самої математики: "Так звані піфагорійці, зайнявшись математичними науками, уперше рушили їх вперед і, виховавшись на них, стали вважати їх початками всіх речей." Подібна точка зору не позбавлена підстави хоча б у силу придатності математичних положень для вираження відношень між різноманітними явищами. На цій підставі можна, неправомірно розширивши даний момент математичного пізнання, прийти до твердження про виразність всього існуючого за допомогою математичних залежностей, а якщо вважати числові відношення універсальними, то "число є сутність усіх речей". Крім того, до часу діяльності піфагорійців математика пройшла довгий шлях історичного розвитку; процес формування її основних положень губився в темряві століть. Таким чином, з'являлася спокуса зневажити ним і оголосити математичні об'єкти чимось первинним стосовно існуючого світу. Саме так і зробили піфагорійці.У радянській філософській науці проблема появи піфагорівської концепції математики розглядалася, природно, із позицій марксистсько-ленінської філософії. Так, О.И.Кедровський пише: "...Вироблена ним (Піфагором) концепція об'єктивно виявилася ідеологією цілком визначених соціальних прошарків товариства. Це були ...представники аристократії, які утискалися демосом... Для них характерне прагнення піти від тяготи земного життя, обертання до релігії і містики". Ця точка зору, як і перша, не позбавлена змісту; істина ж, мабуть, знаходиться десь посередині. Проте, на мій погляд, крах піфагорійського навчання варто зв'язувати в першу чергу не з виродженням аристократії як класу, а зі спробою піфагорійців зіпсувати самому природу процесу математичного пізнання, позбавивши математику таких важливих джерел прогресу, як додатки до виробництва, відкрите обговорення результатів досліджень, колективна творчість, утримати прогрес математики в рамках рафінованого навчання для присвячених. До речі, самі піфагорійці підірвали свій основний принцип "число є сутність усіх речей", відкривши, що відношення діагоналі і сторони квадрата не виражається за допомогою цілих чисел.

Таким чином, вже у вихідному пункті свого розвитку теоретична математика була схильна впливу боротьби двох типів світогляду - матеріалістичного і релігійно-ідеалістичного. Ми ж переконалися, що поряд із впливом світогляду на розвиток математичного пізнання має місце й обернений вплив.

Елейска школа

Елейска школа досить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у працях якої математика і філософія достатньо тісно і різнобічно взаємодіють. Основними представниками елейскої школи вважають Парменида (кінець VI - V ст. до н.е.) і Зенона (перша половина V ст. до н.е.).

Філософія Парменида полягає в наступному: усілякі системи світорозуміння базуються на одній з трьох посилок: 1)Є тільки буття, небуття немає; 2)Існує не тільки буття, але і небуття; 3)Буття і небуття тотожні. Вірною Парменид визнає тільки першу посилку. Відповідно до нього, буття єдине, неподільне, незмінне, позачасне, закінчено в собі, тільки воно істинно існуюче; множинність, мінливість, переривчастість, текучість - усе це уділ мнимого.

З захистом навчання Парменида від заперечень виступив його учень Зенон. Древні приписували йому сорок доказів для захисту навчання про єдність існуючого (проти множинності речей) і п'ять доказів його нерухомості (проти рухомості). З них до нас дійшло усього дев'ять. Найбільшою популярністю за всіх часів користувалися зенонові докази проти рухомості; наприклад, "рухомість не існує на тій підставі, що тіло, що переміщається, повинно колись дійти до половини, перед тим як до кінця, а щоб дійти до половини, потрібно пройти половину цієї половини і т.д.".

Аргументи Зенона призводять до парадоксальних, з погляду "здорового глузду", висновків, але їх не можна було просто відкинути як неспроможні, оскільки і за формою, і по змісту задовольняли математичним стандартам тієї пори. Розклавши апорії Зенона на складові частини і рухаючись від висновків до посилок, можна реконструювати вихідні положення, що він узяв за основу своєї концепції. Важливо відзначити, що в концепції еліатів, як і в дозеноновскій науці фундаментальні філософські уявлення істотно спиралися на математичні принципи. Значне місце серед них займали такі аксіоми:

1.Сума нескінченно великого числа будь-яких, хоча б і нескінченно малих, але протяжних розмірів повинна бути нескінченно великою;

2.Сума будь-якого, хоча б і нескінченно великого числа непротяжних розмірів завжди дорівнює нулю і ніколи не може стати деяким заздалегідь заданим протяжним розміром.