Питання про взаємозв'язок математики і філософії
Саме в силу тісного взаємозв'язку загальних філософських уявлень із фундаментальними математичними положеннями удар, нанесений Зеноном по філософських поглядах, істотно торкнув системи математичних знань. Цілий ряд найважливіших математичних побудов, що рахувалися до цього безсумнівно вірними, у світлі зеноновських побудов виглядали як суперечливі. Міркування Зенона призвели до необхідності переосмислити такі важливі методологічні питання, як природа безкрайості, співвідношення між безупинним і перериваним і т.п. Вони звернули увагу математиків на нетривкість фундаменту їхньої наукової діяльності й у такий спосіб зробили стимулюючий вплив на прогрес цієї науки.
Варто звернути увагу і на зворотну зв'язок - на роль математики у формуванні елейскої філософії. Так, встановлено, що апорії Зенона пов'язані з перебуванням суми безкінечної геометричної прогресії. На цій підставі радянський історик математики Э. Кольман зробив припущення, що "саме на математичний грунті підсумовування таких прогресій і виростили логіко-філософські апорії Зенона". Проте таке припущення, очевидно, позбавлено достатніх основ, тому що воно занадто жорстко зв'язує навчання Зенона з математикою при тому, що існуючі історичні дані не дають підстави підтверджувати, що Зенон взагалі був математиком.Величезне значення для наступного розвитку математики мало підвищення рівня абстракції математичного пізнання, що відбулося у великому ступені завдяки діяльності еліатів. Конкретною формою прояву цього процесу було виникнення побічного доказу ("від противного"), характерною рисою якого є доказ не самого твердження, а абсурдності оберненого йому. У такий спосіб був зроблений крок до становлення математики як дедуктивної науки, створені деякі передумови для її аксіоматичної побудови.
Отже, філософські міркування еліатів, з одного боку, стали потужним поштовхом для принципово нової постановки найважливіших методологічних питань математики, а з іншого боку - послужили джерелом виникнення якісно нової форми обгрунтування математичних знань.
Демокріт
Аргументи Зенона розкрили внутрішні протиріччя, що мали місце в сформованих математичних теоріях. Тим самим факт існування математики був поставлений під сумнів. Якими ж шляхами вирішувалися протиріччя, виявлені Зеноном ?
Найпростішим виходом із положення, що створилося, була відмова від абстракцій на користь того, що можна безпосередньо перевірити за допомогою відчуттів. Таку позицію зайняв софіст Протагор. Він вважав, що "ми не можемо уявити собі нічого прямого або круглого в тому змісті, як подає ці терміни геометрія; справді, коло стосується прямої не в одній точці". Таким чином, із математики варто прибрати як ірреальні: уявлення про безкінечне число речей, тому що ніхто не може вважати до безкрайості; безкінечну подільність, оскільки вона нездійсненна практично і т.д. Таким шляхом математику можна зробити невразливою для міркувань Зенона, але при цьому практично скасовується теоретична математика. Значно складніше було побудувати систему фундаментальних положень математики, у якій би виявлені Зеноном протиріччя не мали б місця. Цю задачу вирішив Демокріт, розробивши концепцію математичного атомізму.
Демокріт був, на думку Маркса, "першим енциклопедичним розумом серед греків". Диоген Лаерцій (III ст. н.е.) називає 70 його творів, у яких були освітлені питання філософії, логіки, математики, космології, фізики, біології, громадського життя, психології, етики, педагогіки, філології, мистецтва, техніки й інші. Аристотель писав про нього: "Взагалі, крім поверхневих вишукувань, ніхто нічого не встановив, крім Демокріта. Що ж стосується його, то утворюється таке враження, що він передбачив усе, та й у методі обчислень він вигідно відрізняється від інших".
Вступною частиною наукової системи Демокріта була "каноніка", у якій формулювалися й обгрунтовувались принципи атомістичної філософії. Потім випливала фізика, як наука про різноманітні прояви буття, і етика. Каноніка входила у фізику в якості вихідного поділу, етика ж будувалася як породження фізики. У філософії Демокріта насамперед установлюється розходження між "справді існуючим" і тим, що існує тільки в "загальній думці". Справді існуючими рахувалися лише атоми і пустота. Як справді існуюче, пустота (небуття) є така ж реальність, як атоми (буття). "Велика пустота" безмежна й укладає в собі все існуюче, у ній немає ні верха, ні низу, ні краю, ні центру, вона робить переривану матерію і можливим її прямування. Буття утворять незліченні дрібні якісно однорідні першотільця, що різняться між собою по зовнішніх формах, розміру, положенню і порядку, вони далі неподільних внаслідок абсолютної твердості і відсутності в них пустоти і "по розміру неподільні". Атомам самим по собі властиво безперестанне прямування, розмаїтість якого визначається безкінечною розмаїтістю форм атомів. Прямування атомів вічно і в остаточному підсумку є причиною всіх змін у світі.
Задача наукового пізнання, відповідно до Демокріта, щоб явища, що спостерігаються, зводити до області "істинного існуючого" і дати їм пояснення виходячи з загальних принципів атомістики. Це може бути досягнуте за допомогою спільної діяльності відчуттів і розуму. Гносеологічну позицію Демокріта Маркс сформулював у такий спосіб: "Демокріт не тільки не віддалився від світу, а, навпаки, був емпіричним натуралістом". Зміст вихідних філософських принципів і гносеологічні установки визначили основні риси наукового методу Демокріта: