Теореми про диференціальні функції

. (9)

Покажемо, що коли функція f (п+1)(х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rп (х) при х ® х0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х - х0)п:

,

тому, що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини (це відомі формули для наближених обчислень за допомогою першого диференціала); з точністю до величини ½Dх½3

;

з точністю до величини Dх4

.

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rп (х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене значення функції f(х).

Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції f(х) у вигляді многочлен даного степеня поблизу точки х0. це треба розуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня які збігаються з функцією при х = х0, лише для многочлен Тейлора, величина виявляється найменшою.

Рис. 1

Із формули (3) видно, що залишковий член Rп (х) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок п многочлена Тейлора, тому, що факторіал при збільшенні п росте швидше степеня.

Приклади

Написати формулу Маклорена для функції f(х)= sin x і оцінити залишковий член. Побудувати функцію і чотири перших многочлени Тейлора.

Оскільки

,

то

.

Підставивши значення похідних у формулу (7), дістанемо для функції f(х)= sin x формулу Маклорена

,

де с лежить між 0 і х .Оскільки , то для залишкового члена справедлива оцінка

.

Нехай, наприклад, . Покладемо k = 4, тоді