Теореми про диференціальні функції

Позначимо многочлен, що стоїть у правій частині формули (1), через j (х, х0):

(2)

Його називають многочленом Тейлора степеня п для функції.

Різницю між функціями f(х) і j () позначимо через Rп (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

(3)

де точка С лежить між точками х0 і х.

Зафіксуємо довільне значення х > х0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку , тобто , і розглянемо функцію

. (4)

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеться точка с Î (х0; х) для якої

. (5)

Якщо в функцію (4) підставити значення функції j (x, t) з формули (2) і результат про диференціювати по t, то знайдемо

. (6)

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

.

Розв'язуючи це рівняння відносимо Rп (х), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rп (х) - залишковим членом у формулі Лагранжа. Величина Rп (х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію f(х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rп (х) при х ® х0 і фіксованому п, а також при п ® ∞ .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 і х (с = q х, 0 < q < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х - х0 = Dх, х = х0 + Dх:

(8)

Оскільки f(х0 + Dх) - f(х0 )= Dу, f (п)(х0) Dхп = dпу, то формулу (8) можна записати у вигляді