Теореми про диференціальні функції

Приклад

Теорема 3. Нехай функції f(x) і φ(x) в околі точки х = а неперервні і диференційовані, причому φ¢(х) ¹ 0 . Тоді в разі виконання рівностей та існування існує і

(4)

Доведення. Розглянемо деякий окіл точки а, в якому виконується умова теореми. У цьому околі візьмемо деяку точку й розглядатимемо х із інтервалу α < х < а ( аналогічно а < х < α ).

Застосуємо до відрізка теорему Коші:

Отже,

За умовою . Звідси випливає, що для будь-якого малого ε > 0 виконується нерівність

,

або

. (5)

Знайдемо

Виберемо α так, щоб для заданого ε справджувалась нерівність (5) і при х ® а виконувались співвідношення: f(x) ® ¥ і φ(x) ® ¥. Тоді

або

. (6)

Перемножимо почленно (5) і (6):

. (7)

Вибираючи значення ε достатньо малим і переходячи в останній нерівності до границі при х ® а, дістаємо (4).

Аналогічно розглядається випадок, коли х ® ¥.

Якщо f(x) і φ(x) неперервно диференційовані на півпрямій с < х < ¥ (-¥ < х < с ) φ¢(х) ¹ 0, причому існує , то існує і :

(8)

Границя відношення нескінченно великих величин дорівнює відношенню їх похідних у разі існування останніх.

Приклад

Зауваження. У формулах (4), (8) з існуванням границь відношення похідних випливає існування відношення функцій. Обернене твердження не буде правильним.

Приклад. Обчислити