Теореми про диференціальні функції

Теореми про диференціальні функції

Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовані функції f(x), φ(x). Причому f(а) = φ(а) = 0. Тоді в разі існування границі відношення похідних цих функцій при х ® а існує і границя відношення самих функцій при х ® а:

(1)

Доведення. Розглянемо деякий відрізок з околу точки а, на якому для функцій f (x) і φ(x) виконуються умови теореми Коші. Отже між точками а і х, знайдеться точка ξ, така що

або

(2)

Переходячи в рівності (2) до границі при х ® а і враховуючи теорему про границю частки двох функцій, дістаємо (1).

Зауваження 1. Правило Лопіталя можна застосувати кількаразово, якщо для відповідної функції або похідної виконуються умови теореми Коші.

Зауваження 2. Функції f(x), φ(x), які неперервними і диференційованими в околі точки х = а, у самій точці а можуть бути не визначеними. Але якщо існують границі

то можна застосувати правило Лопіталя до відношення

Якщо функції f(x) і φ(x) невизначені в точці х = а, то визначаємо значення функцій f(x) і φ(x) та їх граничні значення при х ® а:

це можна зробити, оскільки ми розглядаємо границю відношення функцій, припускаючи, що в околі точки а виконується умова теореми Коші.

Теорема 2. Нехай функції f(x) і φ(x) неперервні і диференційовані на пів прямій с < х < ¥ (-¥ < х < с), причому φ(x) на цій півпрямій не перетворюється на нуль і водночас виконуються рівності:

Тоді, якщо існує , то існує і та справджується рівність

. (3)

Доведення. Покладемо . Отже, якщо x ® ¥ , то z ® 0. Маємо:

.

Розглянемо границю відношення

.

Якщо ця границя існує, то існує й границя .

На підставі здобутих результатів можемо розглядати границі відношення нескінченно малих величин.

Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.