Екстремальні задачі в нормованих просторах

Твердження 9. Нехай U - опукла замкнена множина. Тоді існує єдиний вектор який може бути знайдений із розв’язку варіаційної нерівності

Доведення. Функціонал F(x) - опуклий, неперервний, а отже, і слабонапівнеперервний знизу, причому якщо множина не обмежена, то при Беручи до уваги далі, що DF(x,v)=2[a(x,v)-l(v)], а також твердження 5 і 6 одержимо справедливість сформульованих тверджень.

Наслідок. Нехай U=X. Тоді існує єдиний вектор x, який задовольняє співвідношенню

(17)

Дійсно, беручи до уваги необхідні умови екстремуму для функціоналу F(x) одержимо, що існує єдиний елемент x такий, що що приводить до умови (17).

Приклад 6. Нехай X=W1(G), де G – обмежена область з кусково-гладкою границею.

- лінійний неперервний функціонал на зокрема де задовольняють тим же обмеженням, що і в §1, причому

Оскільки форма є симетричною, неперервною і коерцитивною, то з наслідка до твердження 9 одержимо, що існує єдина функція така, що

тобто існує єдиний узагальнений розв’язок третьої крайової задачі.

Покажемо, що в тому випадку, коли форма a(x,y) може бути не симетричною, то має місце

Теорема 7 (Лакса-Мільграма). Нехай Х - гільбертовий, сепарабельний простір, a(x,y) - неперервна білінійна коерцитивна форма на X, l(x) – неперервний лінійний функціонал. Тоді існує єдиний вектор х такий, що виконується співвідношення

Доведення. Нехай - базис в Х. Позначимо через x(n) і y(n) вектори де b1,…,bn такі, що при Виберемо числа сk з умови

Тоді для c1,…,cn одержимо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Оскільки форма a(x,y) коерцитивна, то матриця з елементами додатньо визначена, а значить ця система має єдиний розв’язок.Зауважимо далі, що з нерівності одержимо Отже, послідовність x(n) обмежена і тому з неї можна вилучити слабко збіжну підпослідовність, за якою залишимо ті ж позначення. Тоді в силу неперервності форми a(x,y) і сильної збіжності y(n) до y одержимо, що числова послідовність a(x(n),y(n)) збігається до форми де - вектор, до якого збігається послідовність x(n). Оскільки то одержимо, що задовольняє співвідношенню

Покажемо єдиність вектора . Нехай існують два вектора х1 і х2, які задовільняють співвідношенню (20). Тоді

л

Зауваження 1. З теореми 7 випливає, що вектор задовольняє нерівності

Введемо далі поняття канонічного ізоморфізму для гільбертових просторів. Нехай Х – гільбертовий простір, а х і y - довільні вектори із Х. Розглянемо спочатку добуток (y,x). При фіксованому y цей скалярний добуток являє собою лінійний неперервний функціонал по x, тобто де - спряженому простору до Х. Відображення є лінійним і неперервним, тобто Оператор будемо називати канонічним ізоморфізмом гільбертового простору Х на спряжене. Зауважимо, що для оператора існує обмежений обернений оператор, який відображає простір на Х. В тому випадку, коли простір Х ототожнюють зі спряженим, покладають - тотожньому перетворенню.

Приклад 7. Нехай де G – обмежена область з куcково-гладкою границею. Через позначимо гільбертовий простір спряжений до

Тоді, згідно наслідка до твердження 9 будемо мати, що для будь-якого функціоналу існує єдина функція така, що