Екстремальні задачі в нормованих просторах

Покладемо Тоді та

тобто для всякого а значить множина В – опукла. Крім того Якби то існував би вектор такий, що Згідно теоремі відділення для скінченновимірних просторів знайдуться такі числа що для довільного вектору буде виконуватися нерівність

Покажемо далі, що ці множники невід’ємні. Покладемо Тоді . Оскільки - довільне додатнє число, то

Доведемо, що виконується умова 2. Якщо то Нехай Покладемо в (13) Очевидно, що точка із такими координатами належить множині В. Але тоді із (2.13) випливає, що Оскільки - довільне додатнє, то або Враховуючи, що в (13) , одержимо, що а значить

Нехай Вектор із координатами при належить множині В, а значить для такої точки виконується нерівність (13), тобто і в силу довільності Припустимо, що а значить без обмеження загальності можемо покласти Оскільки то для одержимо Із пункту 1 теореми випливає, що а значить є розв”язком задачі.

Нехай в деякій точці але Але тоді в силу того, що що суперечить пункту 1 теореми.

Наслідок. Нехай а значить можна взяти Тоді

Ця рівність випливає із співвідношень

Нехай U і V - деякі множини банахових просторів X і Y відповідно. Позначимо через R(u,v) відображення множини в R1 . Розглянемо наступну задачу

Твердження 8. Має місце нерівність

Доведення. Оскільки то

Звідки і отримуємо потрібну нерівність. л

Означення 9. Пара називається сідловою точкою функціоналу R(u,v), якщо

Можна показати, що функціонал R(u,v) має сідлову точку тоді і тільки тоді, коли

Означення 10. Функціонал називається угнутим, якщо і виконується нерівність

Сформулюємо теорему, яка гарантує існування сідлової точки.

Теорема 6. Нехай X і Y - рефлексивні банахові простори, U, V - непусті, обмежені, замкнені, опуклі множини, функціонал R(u,v) - угнутий по v і напівнеперервний зверху та опуклий і напівнеперервний знизу. Тоді R(u,v) має принаймні одну сідлову точку.

Зауваження. Замість умов обмеженості множин U і V в теоремі 6 можна вимогати відповідно наступні умови:

1.Існує таке, що при

2.Існує таке, що при

Припустимо далі, що Х – дійсний гільбертовий простір. Розглянемо функціонал F(x) вигляду F(x)=a(x,x)-2l(x), де a(x,x) - квадратична форма, відповідна до білінійної симетричної неперервної форми a(x,y), l(x) – неперервний функціонал.

Означення 11. Кажуть, що форма a(x,y) коерцитивна, якщо існує константа c>0 така, що