Екстремальні задачі в нормованих просторах

Означення 6. Функціонал F(х), визначений на множині U банахового простору X називається слабонапівнеперервним знизу на U, якщо для будь-якої послідовності xn з множини U, яка слабко збігається до

де x0 - довільна точка.

Функціонал F(х) називається напівнеперервним знизу, якщо (9) виконується коли xn сильно збігається до x0.

Відповідно, функціонал F(х) називається слабонапівнеперервним зверху, якщо -F(х) є слабонапівнеперервним знизу.

Покажемо, що має місце

Теорема 5. Нехай X – рефлексивний банаховий простір і U – обмежена слабко замкнута множина в цьому просторі. Тоді для слабонапівнеперервного на U функціоналу F(х) множина непорожня.

Доведення. Нехай xn - мінімізуюча послідовність з множини U, тобто Оскільки простір X – рефлексивний, а множина U - обмежена, то з послідовності xn можна вибрати слабозбіжну підпослідовність, яку ми будемо позначати тим же символом xn. Отже, і оскільки множина U – слабозамкнена, то Враховуючи співвідношення

одержимо, що що і потрібно було показати.

Зауваження. Умову обмеженості множини U в формулюванні теореми 5 можна замінити умовою при і

Розглянемо далі деякі властивості опуклих функціоналів.

Введемо множини і які називаються відповідно ефективною множиною і надграфом функціоналу F(х).

Означення 7. Функціонал F(х) для якого і всюди називається власним.

Означення 8. Функціонал F(х) називається опуклим, якщо epi F(x) – опукла множина.

Для власного функціоналу F(х) має місце

Твердження 2. Для опуклості власного функціоналу F(х) необхідно і достатньо, щоб для всіх х і y виконувалося співвідношення

В подальшому ми будемо розглядати лише власні функціонали і тому співвідношення (10) можна взяти за означення опуклості.

Означення 9. Функціонал F(х) називається строго опуклим, якщо в співвідношенні (10) нерівність строга і

Приведемо один критерій опуклості.

Твердження 3. Функціонал F(х) є опуклим тоді і тільки тоді, коли функція f(t)=F(x+ty) опукла по для

Доведення. Нехай f(t) опукла. Тоді

Подібним чином показується, що з опуклості F(х) випливає опуклість f(t). л

Зауваження 1. Твердження 3 справедливо і для строго опуклих функціоналів F(х).

Приклад 5. Нехай F(х)=(Qx,x)-2(l,x), де Х – гільбертовий простір. Тоді якщо і додатньо визначений, то функціонал F(х) – строго опуклий, оскільки в цьому випадку і функція f(t) - строго опукла.