Екстремальні задачі в нормованих просторах

Нехай X та Y банахові простори над полем дійсних чисел і F – відображення, яке діє з X в Y та визначене на деякій відкритій множині U простору X. Умовимося позначати через множину лінійних обмежених операторів, які переводять простір X в Y.

Означення 1. Відображення F називається диференційовним за Фреше в точці якщо існує оператор такий що

Вираз називають диференціалом Фреше в точці x, а оператор - сильною похідною (або похідною Фреше). Будемо позначати цю похідну через

Означення 2. Диференціалом Гато відображення F в точці x називають границю

де збіжність розуміють по нормі простору Y.

Відповідну границю, якщо вона існує, будемо позначати символом DF(x,h). В тому випадку, коли існує оператор такий, що вираз називають слабою похідною (або похідною Гато).

Зауважимо, що з співвідношення (2) можна одержати наступний вираз для обчислення дифференціала Гато

Можна показати, що з диференційовності за Фреше випливає диференційованість за Гато, але з диференційовності за Гато не випливає диференційованість за Фреше.

Має місце наступна

Теорема 1. Нехай похідна Гато існує в деякому околі точки x0 і являє собою в цьому околі неперервну операторну функцію. Тоді в точці x0 існує похідна Фреше, причому

Нехай X, Y, Z - нормовані простори, U – окіл точки V – окіл точки - відображення U в V, а F – відображення V в Z і

Справедлива наступна

Теорема 2. Припустимо, що F(y) диференційовна за Фреше в точці y, а відображення диференційовне за Фреше (Гато) в точці x. Тоді відображення I(x) диференційовне за Фреше (Гато), причому відповідний диференціал має вигляд

Означення 3. Нехай відображення F(x,y) визначено в околі U точки і переводить U в Z . Якщо відображення F(x,y) при фіксованому y диференційовне в точці x (за Фреше, Гато), то його похідна називається частковою похідною по х відображення F в точці (x,y) і позначається Fx(x,y). Аналогічно визначається часткова похідна по y Fy(x,y).

Теорема 3 (про повний диференціал). Нехай відображення F(x,y) має в кожній точці околу U часткові похідні Fx(x,y), Fy(x,y), в розумінні Гато, які є неперервними відображеннями в U (в розумінні рівномірної операторної топології). Тоді F диференційовне за Фреше в цій точці, причому

Приклад 1. Нехай X – гільбертовий простір F(x)=(Qx,x), і Q - симетричний оператор.

Оскільки то Звідки Далі і

Отже,

Означення 4. Нехай F(x) деяке відображення простору X в Y. Будемо казати, що в точці існує друга похідна (у розумінні Фреше), якщо в деякому околі цієї точки відображення диференційовне (в розумінні Фреше).

Другу похідну будемо позначати символом

Очевидно, що