Екстремальні задачі в нормованих просторах

Якщо існує то справедлива формула

Вираз називають другим диференціалом Гато.

Приклад 2. Знайдемо другу похідну від функції F(x), яка визначена в прикладі 1.

Отже

Нехай F(x) - функціонал визначений на банаховому просторі X, який приймає дійсні значення. Задачу про відшукання точної нижньої межі або точної верхньої межі на множині будемо записувать у вигляді

Якщо U=X, то задача (6) або (7) називається задачей без обмежень.

Позначимо через множину точок на яких досягається точна нижня межа функціонала F(x). Аналогічний сенс має позначення

Зауважимо, що будь-яка задача на максимум для функціонала F(x) може бути зведена до задачі мінімізації, якщо замінити функціонал F(x) на -F(x).

Означення 5. Точка x0 називається точкою мінімума для функціоналу F(x), якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх х з вказаного околу.

Аналогічно визначається точка максимуму для функціоналу F(x). Точки мінімуму або максимуму називають екстремальними точками.

Покажемо, що справедливо

Твердження 1. Нехай існує диференціал Гато функціоналу F(x) в околі екстремальної точки x0. Тоді має місце співвідношення

Доведення. Нехай t – досить мале число. Тоді або для будь-яких досить малих t, тобто точка нуль є екстремальною для диференційовної функції f(t). Звідки але що і потрібно було довести.

Зауваження 1. Нехай існує похідна Гато функціоналу F(x) в околі точки x0. Тоді умову (2.8) можна переписать в вигляді

Перейдемо далі до формулювання умов екстремуму. В тому випадку, якщо простір X – скінченновимірний, а в точці перший диференціал функції F(x) відображається в нуль, то достатньою умовою екстремуму є додатня або від’ємна визначеність квадратичної форми

Для нескінченномірних просторів ця умова вже не є достатньою. Приведемо відповідний

Приклад 3. Нехай в сепарабельному гільбертовому просторі H з базисом l1, …, lk,… визначений функціонал

Зрозуміло, що F(0)=0, DF(0,h)=0,

Візьмемо точку , для якої Отже і оскільки то в будь-якому околі точки нуль існує точка така,що F( )
Приведемо теорему про достатні умови екстремуму.

Теорема 4. Нехай функціонал F(х), визначений в банаховому просторі Х, причому та існує така константа C>0, що для Тоді точка х0 є точкою мінімуму.Тут символом позначений квадратичний функціонал, який для гільбертового простору має вигляд:

Приклад 4. Нехай Х – гільбертовий простір. F(x)=(Qx,x)-2(l,x), де причому для деякої константи С>0. Тоді

Отже точка є точкою мінімуму.